Критерий Коши для функции

[arkitch]

Помогите разобраться с доказательством критерия Коши для предела функции. (Зорич стр.153) Привожу ниже:
Функция $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ имеет предел по базе $\mathcal{B}$ в том и только в том случае, когда для любого числа $\varepsilon >0$ найдется элемент $B\in\mathcal{B}$ базы, на котором колебание фукнкции меньше $\varepsilon$.
...
Достаточность: Для любого $\varepsolon>0$ найдется элемент $B$ базы $\mathcal{B}$, на котором $\omega(f;B)<\varepsilon$, то функция имеет предел по базе $\mathcal{B}$
Придавая $\varepsilon$ последовательно значения $1,\frac12,.. \frac1n $ получим последовательность $B_1, B_2... B_n$ элементов базы таких, что $\omega (f;B_n)<\frac1n, n\in \mathbb{N}$ Поскольку $B_n \neq \varnothing$, в каждом $B_n$ можно взять по точке $x_n$. Последовательность $f(x_1), f(x_2), ... f(x_n)$ фундаментальная. Взяв вспомогательную точку $x\in B_n\cap B_m$ получим что $|f(x_n)-f(x_m)<|f(x_n)-f(x)|+|f(x)-f(x_m)|<\frac1n+\frac 1m$
По доказанному для последовательностей критерию Коши, последовательность $f(x_n), n\in \mathbb{N}$ имеет некоторый предел A. Из установленного выше неравенства при $m\to \infty$ следует что $|f(x_n)-A|\leq \frac 1n$, а отсюда учитывая что $\omega(f;B_n)<\frac1n$ заключаем что если $n>N=[\frac 2\varepsilon] +1$ то в любой точке $x\in B_n$ будет $|f(x)-A|<\varepsilon$
Вопрос 1) $|f(x_n)-A|\leq \frac 1n$ - почему нестрогое неравенство? Строчкой выше строгое где...$<\frac1n+\frac 1m$?
2) Конечный вывод: $n>N=[\frac 2\varepsilon] +1$ откуда вывели? $|f(x_n)-A|<\varepsilon/2$ и А=1?

[Brukvalub]

1. При переходе в неравенствах к пределу строгое неравенство может стать нестрогим, поэтому теоремы такого рода формулируют и доказывают только для нестрогих неравенств. Смотрите их точные формулировки у того же Зорича.
2.

arkitch в сообщении #997190 писал(а):

...
Конечный вывод: $n>N=[\frac 2\varepsilon] +1$ откуда вывели? $|f(x_n)-A|<\varepsilon/2$ и А=1?

вопрос непонятен. Что значит "откуда вывели"? Зорич так придумал: если взять $n>N=[\frac 2\varepsilon] +1$, то все получается. Математик не обязан указывать мотивы своих действий, просто взял такое условие и получил из него то, что утверждалось в формулировке теоремы (то есть проверил выполнение определение предела по базе).
И как вы "поняли", что $A=1$ ? (конечно, это не так).

[arkitch]

Brukvalub в сообщении #997198 писал(а):

И как вы "поняли", что $A=1$ ? (конечно, это не так).

Подогнать чтобы ответить на свой вопрос. $n>N=[\frac 2\varepsilon] +1$ Это условие сходимости относится не к самому определению предела по базе, а к последовательности, c которой работали? Из сходимости последовательности Коши (элементов базы) следует сходимостть функции. Но какими рассуждениями увидеть вот это условие про n?

[Brukvalub]

Да, к последовательности.

[Otta]

arkitch в сообщении #997275 писал(а):

Но какими рассуждениями увидеть вот это условие про n?

Вам никогда не случалось на практике изучать определение предела последовательности?
Например, сможете ли Вы доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 1n =0$?

[arkitch]

Otta в сообщении #997285 писал(а):

Например, сможете ли Вы доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 1n =0$?

Приходилось, конечно. При $n>1/\varepsilon$

[Otta]

Что "При $n>1/\varepsilon$" ?
Там куча буков. И $n$ - последнее, что нас интересует. Надо показать что для каждого положительного эпсилон... что?

[arkitch]

Найдется $n>N$ так что $|x_n-A|<\varepsilon$
Исправлено на :
найдется $n\in N$ так что для любого n>N $|x_n-A|<\varepsilon$

[Otta]

Неправда. Еще раз.

[Brukvalub]

Похоже, тс. рано разбираться с пределом по базе. Он еще и в самых примитивных базах не разобрался, куда уж там общий случай...

[Oleg Zubelevich]

а еще мне кажется было бы уместно там где-нибудь предложить пару таких упражнений.
Пусть $f:X\to Y$

1) если база в отделимом топ. пр-ве пространстве сходится, то предел единственен
2) если $\mathcal{B}$ база в $X$ то $ \mathcal G=f(\mathcal{B})$ база в $Y$, а утверждение $\lim_{\mathcal{B}}f=A$ означает, что $\mathcal G\to A$.
3) следствие: если функция $f$ имеет предел по базе $\mathcal B$ то этот предел единственен (когда $Y$ отделимое топ. пр-во)

[arkitch]

Спасиб за совет.

[Otta]

arkitch в сообщении #997297 писал(а):

найдется $n\in N$ так что для любого $n>N$ $|x_n-A|<\varepsilon$

А вам не кажется, что это перебор, разные кванторы перед одним и тем же символом?

[ewert]

arkitch в сообщении #997297 писал(а):

Исправлено на :
найдется $n\in N$ так что для любого n>N $|x_n-A|<\varepsilon$

Это бессмысленно как минимум по двум причинам. Во-первых, у Вас $n$ одновременно и найдётся, и любое, так не бывает. Во-вторых, решительно ничего не сказано про $N$ и про $\varepsilon$ и, следовательно, высказывание бессодержательно (даже независимо от первого пункта).

Oleg Zubelevich в сообщении #997303 писал(а):

если база в отделимом топ. пр-ве пространстве сходится

в чём-чём?... Т.е.

Oleg Zubelevich в сообщении #997303 писал(а):

было бы уместно там где-нибудь предложить

кому?...

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #997314 писал(а):

кому?...

студентам, обучающимся по данному учебнику, естесна