Вычислить интеграл от гауссовского распределения

[Gusev_V]

Добрый день! Подскажите пожалуйста как вычислить интеграл от гауссовского распределения.

\[ \int {\frac{1} {{2 \cdot \pi \cdot \sigma _1 \cdot \sigma _2 \cdot \sqrt {1 - r^2 } }} \cdot \exp \left[ {\frac{{ - 1}} {{2\left( {1 - r^2 } \right)}} \cdot \left( {\frac{{(x - a_1 )^2 }} {{\sigma _1^2 }} - 2 \cdot r \cdot \frac{{(x - a_1 ) \cdot (\varepsilon + x - a_2 )}} {{\sigma _1 \cdot \sigma _2 }} + \frac{{(\varepsilon + x - a_2 )^2 }} {{\sigma _2^2 }}} \right)} \right]} dx \]

[Someone]

В большик круглых скобках выделите полный квадрат по $x$, после чего всё сведётся к функции Лапласа или интегралу ошибок (по Вашему выбору).

[Gusev_V]

\[ \int {\frac{1} {{2 \cdot \pi \cdot \sigma _1 \cdot \sigma _2 \cdot \sqrt {1 - r^2 } }} \cdot \exp \left[ {\frac{{ - 1}} {{2\left( {1 - r^2 } \right)}} \cdot \left( {\frac{{x - a_1 }} {{\sigma _1 }} - \frac{{r \cdot (\varepsilon + x - a_2 )}} {{\sigma _2 }}} \right)^2 - \frac{{(\varepsilon + x - a_2 )^2 }} {{\sigma _2^2 }} \cdot (r^2 - 1)} \right]} dx \]

После выделения полного квадрата по х получили вот такой интеграл. Я иду в правильном направлении?

[Gafield]

А тут случайно не двумерное распределение имеется в виду? Больно похожие обозначения. Тогда рядом с $a_1$ должно стоять $x_1$, а рядом с $a_2$ $x_2$.

[Someone]

Gusev_V писал(а):

После выделения полного квадрата по х получили вот такой интеграл. Я иду в правильном направлении?

Нет. Там надо привести дроби к общему знаменателю, раскрыть скобки, собрать вместе члены с $x^2$ и с $x$, и после этого выделять полный квадрат, чтобы оставшийся после выделения полного квадрата член не содержал $x$. Это, по-моему, будет довольно громоздко.

Добавлено спустя 30 минут 52 секунды:

Получается, если я не наврал,

$$\frac 1{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-r^2}}\int\exp\left(-\frac{\sigma_1^2-2r\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2(1-r^2)}\left(x-\frac{\sigma_1^2a_2-r\sigma_1\sigma_2(a_1+a_2)+\sigma_2^2a_1}{\sigma_1^2-2r\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2}\right)^2-\frac{(a_1-a_2)^2}{2(\sigma_1^2-2r\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2)}\right)dx\text{.}$$

Я здесь положил $\varepsilon=0$. Чтобы получить Ваше выражение, нужно везде заменить $a_2$ на $a_2-\varepsilon$.

[Gusev_V]

Добрый день! Да вы правы это двумерное распределение но выраженное через одно неизвестное