Вспоминая кинематику...

[Omega]

Доброго времени суток,уважаемые форумчане. Возникла необходимость решить следующую задачу, но вот никак что-то с ответом не сходиться результат. Не пойму в чём же дело...
Помогите пожалуйста разобраться! Заранее спасибо.



Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $O$. Будем считать,что проекция вектора $\vec{OA}$ на плоскость $Oxy$ составляет с осью $x$ угол $\varphi(t)$
Тогда, учитывая то, что в произвольный момент времени, ось $OB$ является мгновенной ось вращения, вектор мгновенной угловой скорости

$$\vec{\omega} = \dfrac{|\vec{v}_{A}|}{|OA|\sin{(\pi/4)}}(\vec{e}_{x}\cos{\varphi(t)}+\vec{e}_{y}\sin{\varphi(t)})=\dfrac{\sqrt{2}t}{4}}(\vec{e}_{x}\cos{\varphi(t)}+\vec{e}_{y}\sin{\varphi(t)})$$

По определению $\vec{\varepsilon}=\dfrac{d \vec{\omega}}{dt}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}}(\vec{e}_{x}(\cos{\varphi(t)-\dot{\varphi(t)}t\sin{\varphi(t)})+\vec{e}_{y}(\sin{\varphi(t)+\dot{\varphi(t)}t\cos{\varphi(t)}))$
Итого, -первый ответ совпал (здесь в момент времени $t=1\,\, \dot{\varphi(t)}=\sqrt{2}/4$ - угловая скорость вращения всего конуса вокруг оси $Oy$):

$$|\vec{\varepsilon}|(1)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}}\sqrt{1+{\dot{\varphi(t)}}^{2}}=\dfrac{3}{8}$$

Далее пытаюсь вычислить $\vec{a}_{M} = [\vec{\varepsilon}\times \vec{R}_{M}]+[\vec{\omega}\times [\vec{\omega} \times\vec{R}_{M}]]+\vec{a}_{M\text{отн}}+2[\vec{\omega}\times \vec{v}_{M\text{отн}}]$ но ничего не выходит - ответ совсем не тот...
Может быть я изначально что-то неверно делаю?

[Oleg Zubelevich]

введите подвижную систему координат с центром в точке $O$ и осями проходящими через $OC$ и $OB$ и расписывайте все формулы по этой системе

[Omega]

Не выходит что-то ничего толкового... Я конечно понимаю, что проверять всё то, что я выше написал у никого желания нет, но тем не менее. Почему нельзя таким способом, что я выбрал?

[Oleg Zubelevich]

да уж конечно, проверять Вашу арифметику, да еще по формулам, которые вдове длинее, чем следует, из-за неудачно выбранной системы координат, желания нет, у меня, по крайней мере

[Oleg Zubelevich]

Введем подвижную декартову систему координат с началом в точке $O$, ось $Y$ проходит через мгновенную ось вращения $OB$, ось $Z$ идет вертикально вверх вдоль $OC$. Соответственно ось $X$ лежит в горизонтальной плоскости; $\overline {OA}=a\overline e_y+a\overline e_z.$

Тогда скорость точки $A$ выражается формулой $\overline v_A=v\overline e_x,\quad v=v(t)=2t$. Угловая скорость конуса: $\overline \omega=v/a\overline e_y$, угловая скорость подвижной системы $\overline \Omega=-v/a\overline e_z.$

Угловое ускорение конуса $\overline \epsilon=\dot{\overline \omega}=\dot v/a\overline e_y+v/a[\overline \Omega,\overline e_y]=\dot v/a\overline e_y+(v/a)^2\overline e_x$

Через $\overline e$ обозначим единичный вектор, вдоль которого колеблется точка $M$: $\overline {AM}=s(t)\overline e$.

Далее возможны по крайней мере два варианта прочтения условия задачи
1) вектор $\overline e$ жестко связан с конусом и в исследуемый момент времени $\overline e=(\overline e_y-\overline e_z)/\sqrt 2$ -- как на картинке
2) вектор $\overline e$ все время лежит в плоскости $YZ$.

Разберем первый случай. Скорость и ускорение точки $M$ относительно конуса равны соответственно $\overline v_r=\dot s\overline e,\quad \overline a_r=\ddot s\overline e$.
Теперь ускорение точки $M$ вычисляется по формуле сложения ускорений (относительно системы жестко связанной с конусом):

$$\overline a_M=\overline a_r+[\overline \epsilon,\overline {OM}]+[\overline \omega,[\overline \omega,\overline {OM}]]+2[\overline \omega,\overline v_r],\quad \overline {OM}=\overline {OA}+\overline {AM}.$$

В случае 2) для нахождения ускорения точки $M$ следует дважды продифференцировать вектор $\overline{OM}$, используя формулы Пуассона

[Omega]

Oleg Zubelevich
Спасибо. Всё сошлось: и по Вашему и по моему вариантам (я оказывается ошибся в вычислениях).