2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ограниченность линейного оператора с замкнутым ядром
Сообщение01.02.2008, 20:18 
Доказать, что если ядро линейного оператора,
действующего из одного нормированного линейного пространства в другое - конечномерное
(такие операторы называются конечномерными), замкнуто, то он ограничен.

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 15:02 
Если оператор f неограничен, то найдется последовательность $$\{x_k\} \to 0$$ такая что $$|f(x_k)| = 1$$. Пусть $$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$ - координаты $$f(x_k)$$. Т.к. последовательность точек в n-мерном пространстве $$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$ ограничена, то из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. В дальнейшем будем рассматривать только k, относящиеся к выбранной подпоследовательности.

Итак, путь $$e_j$$ - какой-нибудь элемент из прообраза $$f^{-1}(0,0,...,1,0,0,...,0)$$ (j-ый элемент базиса). Можно считать, что он существует, иначе можно уменьшить n.

Рассмотрим $$y_k = x_k - \sum\limits_{j=0}^n \alpha_{kj}e_j$$. Пусть $$z = \sum\limits_{j=0}^n \gamma_je_j$$, где $$(\gamma_j)\limits_{j=1}^n$$ - предел последовательности $$\alpha_{kj}\limits_{j=1}^n$$. Тогда $$y_k \to (-z)$$. Заметим далее, что $$f(y_k) = 0$$, а значит, в силу замкнутости ядра, f(-z) = 0, а с другой стороны, $$f(-z) = (-\gamma_1,...,-\gamma_n)$$. Получилось, что последовательность точек, лежащих на единичной сфере, сошлась к нулю, чего быть не может. Полученное противоречие доказывает задачу.

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 15:13 
Аватара пользователя
Kid Kool писал(а):
Пусть $$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$ - координаты $$f(x_k)$$
Это как :shock:

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 15:30 
Brukvalub писал(а):
Kid Kool писал(а):
Пусть $$(\alpha_{kj})\limits_{j=1}^n$$ - координаты $$f(x_k)$$
Это как :shock:
Оператор по условию конечномерный.

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 15:57 
Аватара пользователя
AD писал(а):
Оператор по условию конечномерный.

Pyphagor писал(а):
Доказать, что если ядро линейного оператора,
действующего из одного нормированного линейного пространства в другое - конечномерное
(такие операторы называются конечномерными), замкнуто, то он ограничен.
Как я понял, само пространство, в котором действует оператор, вполне может быть бесконечномерным. Рассмотрим тогда тождественный оператор. Его ядро - конечномерно и замкнуто. И как тогда понимать координаты образа вектора при действии такого оператора :shock: ?

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 16:21 
Brukvalub писал(а):
Как я понял, само пространство, в котором действует оператор, вполне может быть бесконечномерным.

Да

Brukvalub писал(а):
Рассмотрим тогда тождественный оператор.

Тождественный оператор f:X $\to$ Y существует лишь если X $\subset$ Y, а тогда X тоже конечномерное.

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 16:24 
Brukvalub, слово "конечномерное" относится к слову "другое [пространство]", а не к слову "ядро". А к слову "ядро" относится слово "замкнуто".

Как там это говорится ... надо "разобрать предложение". :D :shock:

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 16:29 
Да, кстати, по условию Y конечномерное, а не ядро оператора!

Добавлено спустя 48 секунд:

AD меня опередил : ))

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 16:45 
Аватара пользователя
Выходит, я неверно понял условие и размышлял над совсем другой задачей...Я прочел условие как требование конечномерности именно ядра!

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 22:18 
Аватара пользователя
я тоже! 8-) И удивлялся, почему операторы с конечномерным ядром вдруг кто-то стал называть конечномерными.

 
 
 
 
Сообщение04.02.2008, 23:10 
Спасибо всем, правда уже нашел решение (длинее, чем предложил $Kid Kool$)
Для линейного функционала совсем просто получается:
Пусть $f$ - неограничен на $B(0,r)$ тогда $ \exists {a_{n}}\ in  B(0,r) : f(a_{n})=c_{n} $
$ c_{n} \to infity$ .Не ограничивая общности можно считать $c_{n}>n^2$.
Рассмотрим $p' : f(p')=1$; $p_{n}={\frac {n}^{c_{n}}}*a_{n}$
Теперь $y_{n}=p'+p_{n}-p_{n+1}$ , тогда $f(y_{n})=0;y_{n}\to p' Rightarrow; p'\in Ker(f)$
Противоречие.
P.S. Извините за формулы.

 
 
 
 
Сообщение27.02.2008, 04:31 
Вот задача которая на мой взгляд не проще предыдущей:
Построить пример такого линейного оператора (или доказать, что
такого не существует), действующего из банахова
в банахово пространство, такого,что ядро и образ
замкнуты, а сам оператор - разрывен(не непрерывен).

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group