Дифф. уравнение диффузии

[Gafield]

Для дифференциального уравнения

$$ \frac{\partial \nu(x,t)}{\partial t}=\frac{\sigma^2(t)}2 \frac{\partial^2 \nu(x,t)}{\partial x^2}+\mu(t) \frac{\partial \nu(x,t)}{\partial x} $$

с коэффициентами, зависящими только от $t$, фундаментальное решение может быть выписано явно:

$$ Z(x,t,\tau)=\frac{e^{-\frac{\left(x+\int_{\tau }^t \mu (z) \, dz\right)^2}{2 \int_{\tau }^t \sigma (z)^2 \, dz}}}{\sqrt{2 \pi } \sqrt{\int_{\tau }^t \sigma (z)^2 \, dz}}. $$

Решение задачи Коши с нулевой правой частью и начальной функцией $\nu(x,0)=\varphi(x)$ представляется в виде интеграла Пуассона

$$ \nu(x,t)=\int_{\mathbb R}Z(x-y,t,0) \varphi(y) dy. $$

Для начального распределения $\varphi(x)=(2 \pi \sigma_0^2)^{-1/2}\exp\{-(x-\mu_0)^2/(2 \sigma_0^2)\}$ решение также выражается явно:

$$\nu(x,t)= \frac{e^{-\frac{\left(x-\mu_0+\int_0^t \mu (z) \, dz\right)^2}{4 \left(\frac{\sigma_0^2}{2}+\int_0^t \frac{\sigma (z)^2}{2} \, dz\right)}}}{2 \sqrt{\pi } \sqrt{\frac{\sigma_0^2}{2}+\int_0^t \frac{\sigma (z)^2}{2} \, dz}}. $$

[нг]

olegVR
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Замена формулы картинкой не рассматривается как допустимое решение.

[olegVR]

V.V, спасибо. Да, я примерно представил, как получить стационрное решение этого уравнения. В том же Самарском есть решение.

Вы абсолютно верно сформлировали постановку моей задачи ... Коши для параболического ДУ, спасибо. Остается её решить.
Ну, можно тоько добавить, что функция $\sigma(t)$ должна быть, скорее всего, убывающей, т.е. $\sigma(t)`<0$

Gafield, огромное спасибо. Это Ваше собственое решение? Можно поинтересоваться, а откуда получается оно? Какую литератру посмотреть можно?

НГ, я постарался исправиться.

[Gafield]

Если коэффициенты зависят только от $t$, то фундаментальное решение можно получить с помощью преобразования Фурье так же, как это делается для уравнения теплопроводности. А для него это выводится во многих книжках, напр., Владимиров "Уравнения математической физики". Для коэффициентов, зависящих от $t$ может, есть еще в явном виде в Эйдельман "Параболические системы". А интеграл для гауссова начального распределения $\varphi$ я посчитал на компьютере. Есть еще "Справочник по решениям уравнений тепло- и массопереноса" (название по памяти) Зайцева и Полянина. Посмотри, может, все эти формулы есть там.

[olegVR]

Gafield, спасибо. Главное направление задано. Кое-какие книжечки уже нашёл. Теперь посмотрю как это у меня всё получится.
О результатах или о возникших трудностях отпишусь здесь.

[V.V.]

Ух ты! Для гауссовской величины объем не меняется...

Да и вообще, похоже, объем не меняется при любых $\mu$, $\sigma$...

[Gafield]

Объем чего?

[olegVR]

Наверное, V.V., Вы имеете в виду суммарный объем пор, распределение по радиусам которых ищем. Но это не должно быть так. Если не менять вид и параметры распределения, то число пор должно возрастать, что распределением, похоже не отражается, или я ошибаюсь?

[V.V.]

Я имею в виду интеграл по $x$ (которое в других обозначениях $l$) от $-\infty$ до $+\infty$.

[olegVR]

Из условия нормировки он равен 1?

[V.V.]

Да.

UPD. Я опять туплю. Проинтгрируем уравнение по $x$ от $-\infty$ до $+\infty$. Получим
$\frac{d}{dt}\int\limits_{\mathbb{R}} \nu(t,x)\,dx=0$. Отсюда получается, что
$\int\limits_{\mathbb{R}} \nu(t,x)\,dx=const$ и не зависит от $t$.

[olegVR]

Что-то не похоже, что это так. Не понимаю...

Добавлено спустя 1 час 41 минуту 57 секунд:

Я тут подумал, что уже странно и вот что придумал:
Нужно нйти момент времени, когда максимальный радиус поры $x_m_a_x = \mu + \sigma$ (с вероятностью 100-68=32%, что он появится) достигнет критического знчения, тогда никакой интеграл брать не нужно
Вероятность я принял с потолка, но желательно обосновать вероятность этого максимума