Квазибесконечные числа и многоэтажные поля

[Andrey Lukyanov]

Приветствую всех.

Я написал два мини-трактата на математические темы.

1) Квазибесконечные числа
http://tapemark.narod.ru/chisla.html

2) Многоэтажные поля
http://tapemark.narod.ru/pole.html

Читайте и критикуйте (если есть за что).

Заголовок сменен на информативный // PAV

[soracx]

Andrey Lukyanov писал(а):

1) Квазибесконечные числа
http://tapemark.narod.ru/chisla.html

Мне понравилась Ваша идея с комплексными числами. Скажите какой алгоритм вычисления корня из любого отрицательного числа в любой произвольной системе счисления Вы предлагаете использовать? Что делать с теми числами которые нельзя записать (Вы пишите: "Пример 2. В 7-ричной системе счисления нельзя записать √−1, поскольку никакое целое число..."), сколько получится решений?

[Andrey Lukyanov]

soracx писал(а):

Скажите какой алгоритм вычисления корня из любого отрицательного числа в любой произвольной системе счисления Вы предлагаете использовать?

Алгоритм вычисления корня из положительных и отрицательных чисел один и тот же — подбирать цифры по порядку справа налево: так, чтобы при возведении в квадрат числа из n последних цифр корня — n последних цифр квадрата были теми же, что и n последних цифр исходного числа (из которого извлекается корень).

soracx писал(а):

Что делать с теми числами которые нельзя записать (Вы пишите: "Пример 2. В 7-ричной системе счисления нельзя записать √−1, поскольку никакое целое число..."), сколько получится решений?

Если число нельзя записать — значит его нет (в данной системе счисления). И результатов в этом случае — ни одного.

[Коровьев]

Andrey Lukyanov писал(а):

Приветствую всех.

Я написал два мини-трактата на математические темы.

1) Квазибесконечные числа
http://tapemark.narod.ru/chisla.html

2) Многоэтажные поля
http://tapemark.narod.ru/pole.html

Читайте и критикуйте (если есть за что).

Вы "изобрели" $p$-адические числа, только написанные справа налево.
Это целая ветвь математики/теории чисел, довольно непростая и хорошо разработанная.
Много литературы.
Многоэтажные поля може потом посмотрю.

[Someone]

Andrey Lukyanov писал(а):

1) Квазибесконечные числа
http://tapemark.narod.ru/chisla.html

Человек "открыл" $p$-адические числа.

Кстати, Вы в курсе, что при составном $p$ имеются делители нуля - такие ненулевые числа, что их произведение равно нулю? И что квадратное уравнение может иметь больше двух корней? Например, уравнение $x^2=x$ в множестве $10$-адических чисел имеет 4 корня.

Andrey Lukyanov писал(а):

2) Многоэтажные поля
http://tapemark.narod.ru/pole.html

А Вам в Вашем "трёхэтажном" поле на множестве комплексных чисел не мешает, что логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений?
$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r\neq 0\Rightarrow\mathop{\mathrm{Ln}}z=\ln r+i(\varphi+2\pi n),n\in\mathbb Z$

[STilda]

Многоэтажные поля, вещь интересная. Вы не пробовали давать геометрическую интерпретацию суперумножению комплексных чисел?
В таких полях, чем "суперовей" операция, тем ее единица слабее при взаимодействии с другими единицами. Тоесть другие единицы будут для нее нулями. Если автору интересно, замечу, что такие многоэтажные поля также рассматриваются у Ленского В.В. и называются локами с несколькими интенсивностями связи. Только в доступных мне источниках не описывается колличественная сторона при взаимодействии. Но зато есть какая-то физическая интерпретация.

[Andrey Lukyanov]

Коровьев писал(а):

Вы "изобрели" $p$-адические числа, только написанные справа налево.

Someone писал(а):

Человек "открыл" $p$-адические числа.

Зато теперь я знаю, что это такое. (статья немного подправлена).

Цитата:

Кстати, Вы в курсе, что при составном $p$ имеются делители нуля - такие ненулевые числа, что их произведение равно нулю? И что квадратное уравнение может иметь больше двух корней? Например, уравнение $x^2=x$ в множестве $10$-адических чисел имеет 4 корня.

Делителей нуля пока не нашёл. Но если они и есть, то это нам ничем не угрожает (так же как и 4 корня).

Someone писал(а):

А Вам в Вашем "трёхэтажном" поле на множестве комплексных чисел не мешает, что логарифм комплексного числа имеет бесконечное множество значений?
$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r\neq 0\Rightarrow\mathop{\mathrm{Ln}}z=\ln r+i(\varphi+2\pi n),n\in\mathbb Z$

Видимо, надо всегда брать то значение, где мнимая часть наименьшая «неотрицательная».

Хотя потенциально здесь действительно может вылезти какая-нибудь бяка.

STilda писал(а):

Вы не пробовали давать геометрическую интерпретацию суперумножению комплексных чисел?

Осмысленной геометрической интерпретации пока не видно. Но можно заметить, что если один из «суперсомножителей» фиксирован, то получается обычная степенная функция.

[AD]

Andrey Lukyanov писал(а):

Видимо, надо всегда брать то значение, где мнимая часть наименьшая «положительная».

Хотя потенциально здесь действительно может вылезти какая-нибудь бяка.

Ну хотя бы операция ваша будет разрывной функцией. Так, да? Не знаю, я бы предпочел многозначную операцию.

[Andrey Lukyanov]

AD писал(а):

Ну хотя бы операция ваша будет разрывной функцией. Так, да? Не знаю, я бы предпочел многозначную операцию.

Да, будет разрывной функцией.

А многозначные операции — не для полей.

[AD]

Ну а логарифмы - для полей? :D

Добавлено спустя 8 минут 52 секунды:

Да и равенство получится "по модулю $2\pi i$"

[Andrey Lukyanov]

AD писал(а):

Ну а логарифмы - для полей?

Почему же нет? Например, на положительных действительных числах умножение и «суперумножение» ($a{\uparrow}b = e^{\ln a \cdot \ln b}$) образуют самое обыкновенное поле.

AD писал(а):

Да и равенство получится "по модулю $2\pi i$"

После экспоненты это «по модулю $2\pi i$» исчезает.

[AD]

Да, тогда, наверное, всё гладко, согласен.

Ну теперь слабо ответить - ваше $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot,\uparrow)$ изоморфно $(\mathbb{C},+,\cdot)$ или нет? Конечно, если окажется изоморфно, то STilda сразу начнёт возмущаться, что вот я опять со своим изоморфизмом, и даже, наверное, правомерно, но теорию-то надо развивать ... определения вводить кто угодно умеет ...

[STilda]

AD писал(а):

Конечно, если окажется изоморфно, то STilda сразу начнёт возмущаться, что вот я опять со своим изоморфизмом, и даже, наверное, правомерно, но теорию-то надо развивать ... определения вводить кто угодно умеет ...

Да нет )) в данном случае не начну, так как это всетаки кусок трехэтажного поля. Получится даже интересно, типа два поля изоморфных комплексному слиты воедино с пересечением по общей группе. )). Что-то типа этого.

[AD]

Ну собственно, я и предполагал возмущение по поводу того, что мол такой интересный объект, а я снова кричу, что они изоморфны и рассматривать поэтому тут нечего.

[Echo-Off]

Andrey Lukyanov писал(а):

После экспоненты это «по модулю $2\pi i$» исчезает.

То есть $e^{\ln{a}\ln{b}}$ не зависит от того, какую ветвь логарифма брать? Увы, зависит.