Интеграл корреляционной функции сигнала

[LuckyWolverine]

Доброго дня, уважаемые форумчане.
Прошу помочь разобраться с интегралом приведенным ниже(спектр плотности сигнала):
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin(2\cdot\pi\cdot\beta\cdot\tau)^2}{(2\cdot\pi\cdot\beta\cdot\tau)^2}\cdot\cos(2\cdot\pi\cdot f \cdot\tau) d\tau$

Выражение $(2\cdot\pi\cdot\beta)$ имеет численное значение. Из исходных данных известно, что $\beta=f_g=\operatorname{const}$. Тогда $\omega_0=2\cdot\pi\cdot f_g$
и $\omega=(2\cdot\pi\cdot f) $.

Таким образом формула приобретет вид:
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin (\omega_0\cdot\tau)^2}{(\omega_0\cdot\tau)^2}\cdot\cos(\omega \cdot\tau) d\tau$
Подскажите пожалуйста, подтолкните пожалуйста в нужном направлении. Надо же как-то формулу плотности спектра вывести. С помощью неё ещё мощность сигнала считать.

[ewert]

Интегрированием по частям приведите степень знаменателя к первой, затем вспомните детство и сведите всё к комбинации интегралов вида $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin\alpha\tau}{\tau}\,d\tau$.

[profrotter]

Если интегрирование не самоцель, то здесь всего лишь пребразование Фурье от $sinc^2(\omega_0\tau)$. Посмотреть в таблицах. Результат - треугольная функция.

[ewert]

Ну или промежуточный вариант. Если знать, что оно треугольное, то посчитать обратное преобразование от него и сопоставить с исходным интегралом. (За знаками можно не следить -- и так ясно, что в нуле оно положительно).

[LuckyWolverine]

Да в том и дело, что привести надо к треугольной функции.

[ewert]

Если нужно именно привести, то интегрируйте по частям (можно, конечно, продифференцировать по параметру, но там возни с формальным обоснованием больше). Треугольность, т.е. кусочность результата, возникнет из-за того, что $\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\sin\alpha\tau}{\tau}\,d\tau=\frac{\pi}2\operatorname{sgn}\alpha$, поэтому в зависимости от положения $\omega$ по отношению к $\omega_0$ эти интегралы будут где-то сокращаться, а где-то удваиваться.

[LuckyWolverine]

Благодарю.