Сокращение числа аксиом

[Linkey]

Здесь раньше писали, что в прошлом математики любили сокращать число аксиом в системе аксиом. Хотелось бы понять, как это выглядит: если две аксиомы заменили на одну, значит последняя более "сильная", содержащая большее количество информации, чем каждая из исходных? Хорошо бы какой-нибудь пример.

[arseniiv]

Не обязательно новая аксиома сильнее каждой из старых сама по себе — выводиться они обязаны из всей новой системы аксиом, но не обязательно из какой-то её меньшей подсистемы, в частности и новой аксиомы в одиночестве.

Возьмём исчисление высказываний с аксиомами $A$ и рассмотрим формулы:
1. $a\leftrightarrow\neg b$.
2. $\neg a$.
3. $b$.
Тогда $A,1,2\vdash3$ [из формул $A,1,2$ с помощью Modus ponens выводится $3$] и $A,1,3\vdash2$, так что для любой формулы $\varphi$, $A,1,2\vdash\varphi$ iff $A,1,3\vdash\varphi$. Но при этом ни $2\vdash3$, ни $3\vdash2$, и даже* $A,2\vdash3$ и $A,3\vdash2$ не выполняются, т. е. сами по себе 2 и 3 не сильнее одна другой.

Linkey в сообщении #996236 писал(а):

содержащая большее количество информации

Чтобы говорить о количестве информации, его в конкретном случае надо сначала определить.

* Почему именно даже, и с чего это вообще можно рассматривать вместо, специально умалчиваю.

(Оффтоп)

Кстати, когда вы уже начнёте готовиться тщательнее перед отправкой вопроса на форум?

[Linkey]

arseniiv в сообщении #996261 писал(а):

Кстати, когда вы уже начнёте готовиться тщательнее перед отправкой вопроса на форум?

А что в этом моём вопросе неправильно по-вашему? И нельзя ли дать ответ на более понятном языке?

[arseniiv]

Linkey в сообщении #996505 писал(а):

А что в этом моём вопросе неправильно по-вашему?

Контекст. Такие вопросы не появляются при правильном порядке изучения математики. Так что вы где-то поперепрыгивали. И это вряд ли даст вам понимание, даже если на этот вопрос ответят.

Linkey в сообщении #996505 писал(а):

И нельзя ли дать ответ на более понятном языке?

Пожалуйста, процитируйте несколько первых непонятных вещей (все не надо, потому что они после уточнения первых сто раз поменяются). А то мне придётся гадать, насколько детально писать, и вам придётся подождать 37 лет 8 месяцев 12 дней и примерно 4 часа.

[Kras]

arseniiv

(Оффтоп)

А что такое правильный порядок изучения математики?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Здесь имеется в виду такой, при котором prerequisites изучаются перед, а не после/никогда.