Не обязательно новая аксиома сильнее каждой из старых сама по себе — выводиться они обязаны из всей новой системы аксиом, но не обязательно из какой-то её меньшей подсистемы, в частности и новой аксиомы в одиночестве.
Возьмём исчисление высказываний с аксиомами
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
и рассмотрим формулы:
1.
![$a\leftrightarrow\neg b$ $a\leftrightarrow\neg b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61ed6355704aae3132c6bfb6a003d76282.png)
.
2.
![$\neg a$ $\neg a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/8/8c88222b2ed4ecc1307285527d93d5b982.png)
.
3.
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
.
Тогда
![$A,1,2\vdash3$ $A,1,2\vdash3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/d/10dbe176c5f3664fe3fc6012b6e3a0e882.png)
[из формул
![$A,1,2$ $A,1,2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/146f3e627e87b8d0c54b5cd9f3310fff82.png)
с помощью Modus ponens выводится
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
] и
![$A,1,3\vdash2$ $A,1,3\vdash2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/2/b523c78239629158464ea614e5b432b382.png)
, так что для любой формулы
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
,
![$A,1,2\vdash\varphi$ $A,1,2\vdash\varphi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/4/604e2657d9da183f4f94ef0f15767fe182.png)
iff
![$A,1,3\vdash\varphi$ $A,1,3\vdash\varphi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/7/237ee6e8538cc4acec71bec6125c09bb82.png)
. Но при этом ни
![$2\vdash3$ $2\vdash3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/b/a5b9de16964ed02e7c2281cccf0260af82.png)
, ни
![$3\vdash2$ $3\vdash2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/f/bcf70ec4c39d08344de47f561d8ccf0682.png)
, и даже*
![$A,2\vdash3$ $A,2\vdash3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/a/41a673b795cd758b305323d03adcff3982.png)
и
![$A,3\vdash2$ $A,3\vdash2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/9/3594c55c926997cc86793bf9173ff73a82.png)
не выполняются, т. е. сами по себе 2 и 3 не сильнее одна другой.
содержащая большее количество информации
Чтобы говорить о количестве информации, его в конкретном случае надо сначала определить.
* Почему именно
даже, и с чего это вообще можно рассматривать вместо, специально умалчиваю.
(Оффтоп)
Кстати, когда вы уже начнёте готовиться тщательнее перед отправкой вопроса на форум?