Поворот в четырёхмерном пространстве

[Viktor92]

Проверьте пожалуйста правильность решения задачи: есть четырёхмерное евклидово пространство с ортонормированным базисом $e$, необходимо найти матрицу поворота на угол $\frac{\pi}{2}$ в линейной оболочке $L$ векторов $\langle e_2+e_3, e_1-e_4\rangle$, вектора ортогонального дополнения $L_d$ этой линейной оболочки неподвижны.
Моё решение в общем виде: находим базис в линейной оболочке $L$ и его ортогональном дополнении $L_d$, объединяем их и получаем базис в пространстве $E_4$ , пусть координатные столбцы векторов этого базиса образуют матрицу $S$, она является по сути матрицей перехода от исходного ортонормированного базиса к новому (он будет ортогональным в данной задаче).
Рассмотри произвольные вектор $x\in E_3$ с координатным столбцом $\xi$, найдём его компоненты в новом базисе $\xi_1=(S^{-1})^T \xi$ и применим в новом базисе соответствующую матрицу поворота $A$, получим координаты повёрнутого вектора в новом базисе $\xi_2=A(S^{-1})^T\xi$, осталось только перейти в исходный базис используя матрицу перехода $\xi_3=SA(S^{-1})^T\xi$, т.о. матрица поворота будет $SA(S^{-1})^T$.

[ewert]

Ну вообще-то грех не воспользоваться тем, что пара $e_2+e_3,\; e_1-e_4$ весьма специфична. Эти векторы мало того что ортогональны и имеют одинаковую длину, но и базис ортогонального дополнения к ним вполне очевиден -- это $e_2-e_3,\; e_1+e_4$, да к тому же и угол -- 90 градусов. Соответственно, $A(e_2+e_3)=e_1-e_4$, $A(e_1-e_4)=-(e_2+e_3)$, $A(e_2-e_3)=e_2-e_3$, $A( e_1+e_4)=e_1+e_4$, откуда практически сразу и сама $A$. И для произвольного угла поворота было бы не намного сложнее.

[Viktor92]

Спасибо за более простой путь, а для более общего случая моё решение верно?

[svv]

Viktor92 в сообщении #995969 писал(а):

найдём его компоненты в новом базисе $\xi_1=(S^{-1})^T \xi$

Зачем здесь транспонирование?
Пусть векторы, координаты (а также индексы в матрице перехода) без черточек относятся к исходному базису, а с черточками — к новому.
Формулы такие:
$\begin{array}{l}\bar{\mathbf e}_k = \mathbf e_i\;S^i{}_{\bar k}\\ \mathbf e_i = \bar{\mathbf e}_k\;S^{\bar k}{}_i\\ \mathbf a=\mathbf e_i\;a^i=\bar{\mathbf e}_k\;\bar a^k\\ a^i=S^i{}_{\bar k}\;\bar a^k\\ \bar a^k=S^{\bar k}{}_i\;a^i\\S^i{}_{\bar k}\;S^{\bar k}{}_\ell=\delta^i_\ell\end{array}$
Все формулы записаны так, чтобы умножение соседних объектов можно было интерпретировать как матричное. Видно, что везде используется либо $S$ с элементами $S^i{}_{\bar k}$, либо $S^{-1}$ с элементами $S^{\bar k}{}_i$.

Второй вопрос. Ну, а как в новом удобном базисе выглядит матрица поворота? Может, даже для произвольного угла сможете записать?

[Viktor92]

svv в сообщении #996182 писал(а):

Зачем здесь транспонирование?

Да, ошибся. Замену базиса проходил давно и в конспекте неправильные формулы были, т.к. сам их в матричной форме выводил, спасибо Вам за верные, а то в учебниках каждый автор, как захочет их напишет или не запишет совсем.

svv в сообщении #996182 писал(а):

Второй вопрос. Ну, а как в новом удобном базисе выглядит матрица поворота? Может, даже для произвольного угла сможете записать?

Думаю вот так.

$$\begin{pmatrix} \cos a& -\sin a& 0 &0 \\ \sin a&\cos a &0 &0 \\ 0 &0 & 1 &0 \\ 0& 0&0 & 1 \end{pmatrix}$$

[svv]

Да, правильно. Первый базисный вектор переходит в вектор с координатами из первого столбца, и так далее.

Используя результаты предыдущих задач, можно найти и бескоординатную формулу. Разложить вектор $x$ на $x_L$ и $x_D$, где $L$ — линейная оболочка двух заданных векторов, а $D$ — ортогональное дополнение (размерности $n-2$ в общем случае). Оператор поворота $\textsf{A}$ преобразует $x_L$ понятно как, а $x_D$ не меняет: $\textsf{A}x_D=x_D$. Остается сложить $\textsf{A}x_L$ и $x_D$.