Сумма бесконечного ряда

[Три А,да]

Дан бесконечный в обе стороны функциональный ряд, элементы которого задаются по правилу
$a_{n+1}(x)=\frac {da_n(x)} {dx}$
Тогда сумма ряда удовлетворяет дифференциальному уравнению
$\frac {d} {dx} f(x)=f(x)$
единственным решением которого является экспонента
Выбрав затравочный элемент в виде $a_0=x^a$ при не целом $a$ получим сумму ряда в виде:
$... + \frac {x^{a+2}} {(a+2)(a+1)}+\frac {x^{a+1}} {(a+1)}+x^a+ax^{a-1}+a (a-1) x^{a-2}+...$
которая расходится для любого $x$

Вопрос: в данном случае из-за расхождения ряда сумму вообще нельзя дифференцировать?

Кстати, вытащил оттуда интересную функцию

$ t(x,a,c)= \frac {x^a} {\Gamma(a+c+1)}+\frac {x^{-a}} {\Gamma(a-c+1)}$

[Brukvalub]

Три А,да в сообщении #995170 писал(а):

...
Вопрос: в данном случае из-за расхождения ряда сумму вообще нельзя дифференцировать?
..

О какой "сумме" идет речь, если ряд всюду расходится?

[bot]

Три А,да, а на кой Вам такой ряд? Всё зависит от цели введения. В принципе можно рассматривать и формальные ряды (сходимость по-боку) и оперировать с ними тоже формально, а операции вводить сообразуясь с целью.

[ewert]

Три А,да в сообщении #995170 писал(а):

не целом $a$ получим сумму ряда в виде:
$... + \frac {x^{a+2}} {(a+2)(a+1)}+\frac {x^{a+1}} {(a+1)}+x^a+ax^{a-1}+a (a-1) x^{a-2}+...$
которая расходится для любого $x$

Вопрос: в данном случае из-за расхождения ряда сумму вообще нельзя дифференцировать?

ответ: в данном случае нельзя дифференцировать не только сумму, но даже и сами члены ряда