Рассчитать избыточное давление в полусферическом шатре.

[melnikoff]

Есть полусферический шатер, который поддерживается избыточным давлением внутри шатра. Радиус сферы $R=50\;\text{м}$. Поверхностная плотность шатра $\sigma = 1\;\frac{\text{кг}}{\text{м}^2}$.
Рассчитать избыточное давление $P_\text{изб}$ для полного надутия шатра.

Решение:
Условие полного надутия (2-й закон Ньютона):
$Mg=\iint\limits_{\substack{R^2=x^2+y^2+z^2,\\z\geqslant 0}}P_\text{изб}\vec{k}\vec{dS}=P_\text{изб}\iint\limits_{\substack{R^2=x^2+y^2+z^2,\\z\geqslant 0}}\cos\alpha dS=P_\text{изб}\iint\limits_{\substack{R^2=x^2+y^2+z^2,\\z\geqslant 0}}\frac{z}{R}dS=\\ =\frac{P_\text{изб}}{R}\iint\limits_{\substack{R^2=x^2+y^2+z^2,\\z\geqslant 0}}zdS=\frac{P_\text{изб}}{R}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}\sqrt{R^2-x^2-y^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{R^2-x^2-y^2}}dxdy=\\ =P_\text{изб}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}dxdy=P_\text{изб}\pi R^2$
$Mg=P_\text{изб}\pi R^2$, где $M$ - масса шатра ($M=2\pi R^2\sigma$).
В итоге получаем $P_\text{изб}=\frac{Mg}{\pi R^2}=\frac{2\pi R^2\sigma g}{\pi R^2}=2\sigma g=2\cdot1\;\frac{\text{кг}}{\text{м}^2}\cdot 9,8 \frac{\text{м}}{c^2}=19,6\;\text{Па}$.
Проверьте пожалуйста.

[Sender]

Всё хорошо, вот только взгляните на равенство $Mg=P_\text{изб} \pi R^2$ и подумайте, нельзя ли к нему прийти без этих жутких интегралов?

[melnikoff]

Sender, интуитивно эта формула понятна. Я и ожидал ее получить.
Вот как ее проще и обоснованно получить? Может так:
$P_\text{изб}dS\cos\alpha=P_\text{изб}dS_D$,
$P_\text{изб}\iint\limits_{\substack{R^2=x^2+y^2+z^2,\\z\geqslant 0}}\cos\alpha dS=P_\text{изб}\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant R^2}dS_D$?

[Sender]

Каков физический смысл этой формулы?

[melnikoff]

Sender, затрудняюсь ответить.

[DimaM]

melnikoff в сообщении #995860 писал(а):

Вот как ее проще и обоснованно получить?

А вот если шатер закрыть снизу плоской крышкой, и всю эту конструкцию изнутри надуть. Чему будет равна полная сила давления, действующая на этот баллон?

[melnikoff]

DimaM, аааа =)
Задача-то школьная значит. 2-й закон Ньютона, затем 3-й закон Ньютона и опять 2-й, и задача решена.