Математическая Статистика

[TripleLucker]

Здравствуйте. Такая задача :
Нужно показать асимптотическую нормальность выборочной квантили для истинной квантили.
Что я сделал :
$\[P(\sqrt n ({X_{([n\delta ] + 1)}} - {F^{ - 1}}(\delta )) < t) = P({X_{([n\delta ] + 1)}} < \frac{t}{{\sqrt n }} + {F^{ - 1}}(\delta ))\]$

Дальше вводим новую случайную величину ${\xi _n}$, которая имеет распределение ${B_{F(\frac{t}{{\sqrt n }} + {F^{ - 1}}(\delta ))}}$. И сумма этих величин есть количество наблюдений $\ge [n\delta ] + 1$

Тогда нашу вероятность можно переписать в виде $P({S_n} \ge [n\delta ] + 1)$.
Пытаюсь применить ЦПТ. Для этого преобразую к такому виду :

$$\[P\left(\frac{{{S_n} - E{S_n}}}{{\sqrt {D{S_n}} }} \ge \frac{{[n\delta ] + 1 - nF(\frac{t}{{\sqrt n }} + {F^{ - 1}}(\delta ))}}{{\sqrt {nF(\frac{t}{{\sqrt n }} + {F^{ - 1}}(\delta ))(1 - F(\frac{t}{{\sqrt n }} + {F^{ - 1}}(\delta )))} }}\right)\]$$

Теперь нужно понять, куда стремится левое слагаемое. Вот все в знаменателе, кроме $\sqrt n$ , если очень грубо взять, то к $\sqrt {\delta (1 - \delta )} $. А вот с числителем и $\sqrt n$ разобраться никак не могу, можно было бы раскрыть по формуле тейлора функцию сверху, но у меня почему-то $0 $получается. Поэтому хотел бы спросить, как мне быть?

Я примерно понимаю, какой ответ получается, но хочется точно знать, почему так.

[TripleLucker]

Ой, описался, правое слагаемое, а не левое.

[--mS--]

Никак там ноль не может получаться по Тейлору. Да и не нужен Тейлор, достаточно определения производной - у Вас стоит приращение функции делить на приращение аргумента

$$\dfrac{F\left(F^{-1}(\delta)\right)-F\left(F^{-1}(\delta)+\frac{t}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{t}{\sqrt{n}}}\to -F'\left(F^{-1}(\delta)\right).$$

Чего не хватает - добавьте.

[TripleLucker]

--mS-- в сообщении #995765 писал(а):

Никак там ноль не может получаться по Тейлору. Да и не нужен Тейлор, достаточно определения производной - у Вас стоит приращение функции делить на приращение аргумента

$$\dfrac{F\left(F^{-1}(\delta)\right)-F\left(F^{-1}(\delta)+\frac{t}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{t}{\sqrt{n}}}\to -F'\left(F^{-1}(\delta)\right).$$

Чего не хватает - добавьте.

Ну по сути в ряд я так и разлагал(похоже я описался тогда, и поэтому не то получалось), тогда вот получается:
$\[\frac{{[n\delta ] + 1 - n\delta }}{{\sqrt {n\delta (1 - \delta )} }} - t\frac{{f({F^{ - 1}}(\delta ))}}{{\sqrt {\delta (1 - \delta )} }}\]$

Но вот я не знаю, что с первым и третьим слагаемым в числителе. Они на бесконечности себя одинаково ведут? (довольно логично бы было) Тогда их сократить можно бы было. И тогда сразу ответ вылетит.

(В задаче распределение абсолютно непрерывное и плотность непрерывно дифференцируема)

[--mS--]

С первым и третьим - Вы имеете в виду $[n\delta]-n\delta$? Разница между числом и его целой частью не превосходит чего?