Точки в многоугольнике

[Побережный Александр]

Надеюсь, предложенная задача олимпиадного уровня.

Пусть на плоскости задан выпуклый $n$-угольник.
Точка $A$ лежит внутри этого многоугольника,
$d_1, d_2, ..., d_n$ – расстояние от точки $A$ до соответствующей стороны $n$-угольника.

Доказать: существует фиксированный набор чисел $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$, что для любой точки $A$ внутри многоугольника выполняется соотношение $\alpha_1d_1+\alpha_2d_2+...+\alpha_nd_n=\operatorname{const}$.

[12d3]

Эти числа - стороны многоугольника.

[green_orange]

Каждая из функций $d_i(x,y)$ - расстояние от точки $(x,y)$ до соответствующей стороны, если считать его с надлежащим знаком, имеет вид $ax+by+c$, а такие функции образуют трёхмерное векторное пространство, так что хватит трёх ненулевых коэффициентов, чтобы загнать линейную комбинацию в одномерное подпространство констант. Внутри многоугольника все функции будут иметь нужный знак.

[Побережный Александр]

Тогда усложняем задачу. Все то же, но есть ограничения: $0<\lvert \alpha_i \rvert<1$.
Найти значения всех $\alpha_i $ и вычислить $\operatorname{const}$. Предполагается, что стороны многоугольника мы знаем.
Необходимо ли условие выпуклости многоугольника?

[ИСН]

Ваше усложнение ничего не усложняет. Поделили все числа на одно и то же, и вот они уже меньше 1.

[Побережный Александр]

Уважаемый ИСН, соглашусь с вами, что задача сформулирована не совсем корректно.
Я хотел подвести к мысли, что лучше поделить на периметр и тогда появляется соотношение:

$\frac{b_1}pd_1+\frac{b_2}pd_2+...+\frac{b_n}pd_n=\frac{2S}p$,

где $p=b_1+b_2+...+b_n$.

Другими словами, $\alpha_i$ - доля длины $i$-ой стороны в общем периметре.

[VAL]

12d3 в сообщении #995526 писал(а):

Эти числа - стороны многоугольника.

Я бы нули взял