Функция Хевисайда

[Nikita_Deshin]

Здравствуйте! Подскажите, существует ли такое понятие для функции Хевисайда, как первообразная?
Нужно доказать, что $\int\limits_{0}^{z}(f(x)\cdot H(x-a))dx=H(z-a)\cdot\int\limits_{a}^{z}f(x)dx$.
Понятно, что можно разбить интервал: $[0;z]=[0;a] \cup [a;z] $
Тогда интеграл станет выглядеть: $\int\limits_{0}^{a}(f(x)\cdot H(x-a))dx + \int\limits_{a}^{z}(f(x)\cdot H(x-a))dx$
На том ли я пути вообще?

[Brukvalub]

Да, существует.

[Nikita_Deshin]

Brukvalub в сообщении #995159 писал(а):

Да, существует.

Будьте добры, скажите, если существует, то чему равна эта первообразная?

[Brukvalub]

Интегралу с переменным верхним пределом от функции Хевисайда (уточню: это будет не точная, а обобщенная первообразная, точной первообразной быть не может по т. Дарбу о разрывах производной).

[Nikita_Deshin]

Nikita_Deshin в сообщении #995148 писал(а):

Нужно доказать, что $\int\limits_{0}^{z}(f(x)\cdot H(x-a))dx=H(z-a)\cdot\int\limits_{a}^{z}f(x)dx$.
Понятно, что можно разбить интервал: $[0;z]=[0;a] \cup [a;z] $
Тогда интеграл станет выглядеть: $\int\limits_{0}^{a}(f(x)\cdot H(x-a))dx + \int\limits_{a}^{z}(f(x)\cdot H(x-a))dx$
На том ли я пути вообще?

Brukvalub, посмотрите мои выкладки, можете что-нибудь посоветовать?

[Brukvalub]

Как быть, если точка $a$ находится вне отрезка интегрирования?

[svv]

В случае $a<0$ равенство неверно.

[Nemiroff]

topic95188.html

ТС, а вы не оборзели?

[Nikita_Deshin]

Brukvalub в сообщении #995181 писал(а):

Как быть, если точка $a$ находится вне отрезка интегрирования?

Если $ a>z $, то $ \int\limits_{0}^{z} = \int\limits_{0}^{a} - \int\limits_{z}^{a}$ , если $ a<0 $, то $ \int\limits_{0}^{z} = \int\limits_{a}^{z} - \int\limits_{a}^{0}$, если я вас правильно понял.

-- 25.03.2015, 02:29 --

Nemiroff в сообщении #995201 писал(а):

http://dxdy.ru/topic95188.html

ТС, а вы не оборзели?

(Оффтоп)

А что не так? Я последовал вашему совету, с областью, это мне не помогло. Я стал дальше спрашивать.

[Brukvalub]

Nikita_Deshin, на этом форуме есть точно сформулированные в преамбуле правила поведения, вы их нарушили и теперь вынуждаете нарушать правила тех, кто вам здесь отвечает. Это нехорошо.

[Nikita_Deshin]

Brukvalub, Nemiroff, svv

(Оффтоп)

Прошу прощение за повторение темы и нарушении правил форума, надеюсь, эту тему удалят. Буду сам разбираться. Всем спасибо.

[Lia]

Nemiroff
Выбирайте выражения. Замечание.

Кнопка "Жалоба" еще доступна.

Nikita_Deshin в сообщении #995203 писал(а):

А что не так?

Nikita_Deshin
Замечание за дублирование темы из Карантина.

[svv]

Nikita_Deshin
Возможно, я слишком лаконично выразился. Подробнее: Вы не сможете доказать утверждение для случая $a<0$, потому что оно неверно. Рассмотрим, например, случай $a<0<z$. Тогда в левой части в интеграле $H(x-a)=1$, потому что $a<0\leqslant x$. А в правой части $H(z-a)=1$, потому что $a<z$. Таким образом, утверждение приобретает вид
$\int\limits_{0}^{z}f(x)dx=\int\limits_{a}^{z}f(x)dx$, что равносильно $\int\limits_{a}^{0}f(x)dx=0$
Ну и как Вы думаете, можно это доказать?