Сходимость функциональной последовательности

[Geros]

Подскажите, пожалуйста...

Пусть $f$ - измеримая функция (на отрезке там... с мерой Лебега...)

Сходится ли по мере или почти всюду к ней последовательность изм. функций $f(x+\frac{1}{n})$?

Вообще не знаю, как подступиться...
Попытки решения... нуу... пытался использовать какие-то теоремы (Лузина, Егорова)... приближать простыми измеримыми... но доказать (или опровергнуть) это даже для простой функции не вышло... (простая - у которой конечное число значений... как её ещё называют? ступенчатая? этажная?..)

Не обязательно говорить сразу решения...
Хотя бы только идею, намёк... как подступиться... задача, наверное, несложная... просто в голову нечего не идёт...

Заранее спасибо.

-- 24.03.2015, 08:04 --

Если кого-то смущает, что сдвигается функция на отрезке, то, видимо, следует считать, что она определена на вещ. прямой и просто имеет носителем отрезок...

То, что носитель компактный - важно вроде...

На прямой легко найти функцию, к которой эта последовательность не сходится по мере (меры соотв. множеств бесконечны просто...) Правда, отсюда не следует, что она не сходится п. в. (и в примере, который я знаю - она всюду сходится...) Верно ли это и для сходимости почти всюду, я не знаю...

[Brukvalub]

Ответ такой: если функция конечна, то по мере последовательность ее сдвигов обязательно к ней сходится, а п.в - не обязательно (может вообще не сходиться на множестве положительной меры).
В док-ве п.1 используйте т. Лузина и Кантора, совсем простой контрпример мне придумать не удалось, но, но ничего сверх-фантастического в контрпримере нет.