Дифф. уравнение диффузии

[olegVR]

Здравствуйте!
Из какого-то учебника по математической физике давным-давно выписал себе в тетрадочку подробнейший вывод уравнения диффузии через статистические характеристики среды. Тогда был неопытным ещё и не выписал выходные данные издания, даже фамилии автора не помню. Но книга был очень хорошая, написана доступно и в подробностях.
Сейчас многое позабылось, в практике дифференциальное исчисление практически не применяется, когда клюнет, то тогда уже поздно…

Итак, есть уравнение диффузии ,

$$\frac{\partial\nu(l,t)}{\partial t}=\frac 1{\tau}\left(\mu(t)\frac{\partial\nu(l,t)}{\partial l}+\frac{\sigma(t)^2}2\frac{\partial^2\nu(l,t)}{\partial l^2}\right)\text{.}$$

где l – материальная переменная, t – время, σ – параметр формы (дисперсия) распределения частиц, μ – параметр масштаба (математическое ожидание).

Помогите, пожалуйста, решить следующие вопросы:
1. как решить это уравнение, каким методом; если можно, то подробнее или дайте ссылку на литературу, где решено именно это уравнение; я посмотрел имеющиеся книжки по матфизике, то в них уравнения диффузии совсем иначе строятся;
2. не подскажите, что это за книжка может быть, откуда я выписал это уравнение

[Парджеттер]

Ну раз давно-давно...
А вы в Тихонова с Самарским не заглядывали по этому поводу

[olegVR]

Просмотрел Ватанабэ по стахпроцессам и уравнениям диффузии - слишком сложно. Тихонов и Самарский у мея есть - там немного другое уравнение сродни с уравнением теплопроводности, есть просто Тихнов, Ильина, Свешникова "ДУ", но там только общий подход. И, мне кажется, книжка была иностранного автара. Если честно думать хочется мало. Так где можно найти решение именно этого уравнения, желательно с физической интерпретацией?

[Gafield]

Цитата:

Если честно думать хочется мало

Напиши формулу здесь, картинка не читается.

Что значит "решить уравнение"? У него много решений. Какая задача тебе нужна? Численно или аналитически?

[olegVR]

Да, думать вредно
Нужно, конечно, аналитическое решение. Численное я без труда составил в Маткаде методом сеток, хотя, кто знает, мне кажется, я неверно граничные условия задал.
У меня формула читается, нужно ссылку в новом окне открыть, а как тут писать, я не умею
Вот как сумел написал
δv(l,t)/δt=1/τ*[(δv(l,t)/δl)*μ+0.5*(δ^2v(l,t)/δl^2)*σ^2]

[V.V.]

Решается не уравнение, а конкретная краевая задача. Приведите её здесь, поможем решить или ссылку на книгу дадим.

[Someone]

Видимо, имеется в виду

$$\frac{\partial\nu(l,t)}{\partial t}=\frac 1{\tau}\left(\mu\frac{\partial\nu(l,t)}{\partial l}+\frac{\sigma^2}2\frac{\partial^2\nu(l,t)}{\partial l^2}\right)\text{.}$$

Рекомендую посмотреть http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355. Посмотрите, как пишутся формулы в других сообщениях. Чтобы увидеть код формулы, наведите на неё курсор мыши.

[olegVR]

V.V., сейчас попробую рассказть.
В первоисточнике решалась задача о распределении частиц газа в ограниченном объеме, толи механических частиц в растворе жидкости, сейчас точно не помню. Я почесал репу и решил применить это уравнение для твердого тела:
Дано тело (стержень, сечением которого не пренебрегаем), к которому приложена растягивающая сила с пременным во времени модулем, но постоянным направлением (псть скорость изменения силы больше нуля, т.е. она может только возростать). С течением времнии в теле начинют возникать дефекты (поры), которые будут иметь определенное распределение по своим радиусам (в уравнени l - это радиус поры). Необходимо найти
1. распределение пор по радиусам в текущий момент времени
2. момент времени, когда общий объем пор достигнет критического значения

Someone, спасибо, буду разбираться.

[V.V.]

olegVR, а что еще известно? начальное распределение? граничные условия?

[olegVR]

Да известно начально распределение. Допустим оно нормальное, у которого мы знаем начальную диперсию и мат. ожидание.(σ0 и μ0)
Даже можно допустить автомодельность процесса, т.е. принять дисперсию постоянной, мат.ожидание возрастающим.(σ-const)
Думаю, этого не достаточно, тогда, допустим знаем ещё одно распределение (σ1 и μ1) в момент времени t1.
Ну, и ещё известен критический объем пор V*.

[V.V.]

Так, давайте все-таки выясним, что вы хотите найти.

У Вас есть $\nu$, $\sigma$, $\mu$. Что известно, что нет? Что надо найти?
В какие моменты времени мы что-нибудь об этих функциях знаем?
Есть ли граничные (по $l$) условия?

Поймите, чтобы математик решал задачу, ему надо её поставить.

[olegVR]

V.V., это везде так - половина решения заключена в правильной постановки задачи

ν(l,t) - это концентрация пор в еденице объема в данный момент времени, которая связана с функцией распределения f(Δ) приращений радиусов пор Δ следущим образом:
$\nu(l,t+\tau)=dl \int_{-\infty}^{+\infty}\nu(l+\delta,\tau)f(\delta) d\delta$
(Не получилось прописную греческую дельту в формулу поставить)
А в само диффю ур-е эта функция распределения приращений радиусов пор f(Δ) входит через дисперсию и мат.ожидание.

У меня возникли затруднения с граничными условиями, но, я думаю, что их можно сформулировать так:

Пусть искомая концентрация лимитируется предельной величиной N*, в конечный момент времени T. Кстати, T - это один из искомых параметров, определяющий долговечность нашего образца.

Кроме того, пусть в начальный момент времени t=0, задана функция распределения радиусов пор f(l) со своими σ и μ.

Т.о., необходимо определить концентрацию пор в данный момент времени, другими словами найти функцию ν(l,t). Также необходимо найти долговечность T.

[V.V.]

Да, везде. Но в этой теме Вы спрашиваете про диф. уравнения. Поэтому давайте формулировать задачу именно в этих терминах.

Если Вы рассматриваете задачу Коши (т.е. задаете $\vu(0,l)$ и решаете написанный дифур) с переменными $\sigma$ и $\mu$, то аналитического решения почти наверняка не будет.

Комментарий. Чушь написал. Можно ведь преобразование Фурье сделать.

[olegVR]

Так-с, понятно. Если найти решение при постоянных σ и μ, то оно будет отвечать стадии упрочнения (термин из МДТТ) материала. В принципе, в большинстве практических расчетах ей можно и ограничиться при t0<t<t1.
Далее наступает стадия локализации разрушения, которая уже требует как минимум задания функции μ=μ(t) и как максимум ещё и функции σ=σ(t) при t1<t<T.

Поэтому найти решение при σ, μ - const тоже бы хотелось

[V.V.]

При постоянных просто.

Делаете замену $\nu(t,l)=u(t,l)e^{at+bl}$. Подбираете $a$ и $b$, чтобы уничтожились члены при $u_l$ и $u$. Остается уравнение теплопроводности, в книгах написаны решения всевозможных задач для него.

И давайте все-таки выясним математическую постановку вашей задачи.
В итоге получилось, что вы хотить решить задачу Коши для параболического уравнения с заданными $\sigma(t)$ и $\mu(t)$ и найти момент времени, когда решени $\nu(t,l)$ достигнет какого заранее заданного числа $R$? При этом $\sigma(t)>0$ (по "вероятностному" смыслу) и $\mu'(t)\ge 0$ (по физическому смыслу).