Вопрос о массе в уравнении Мещерского

[Atom001]

Здравствуйте!
Уравнение Мещерского приводится в виде $M(t)\frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}=-\mu \vec{\upsilon}$.
Но почему там масса переменная? Ведь если составить уравнение по ЗСИ, то поучится:

$$M(0)\vec{\upsilon}(0)=M(t)\vec{\upsilon}(t)+\mu \Delta t(\vec{u}+\vec{\upsilon}(t))$$

Масса ракеты меняется по закону $M(t)=M(0)-\mu \Delta t$. Если подставить это выражение в верхнее то получится:

$$M(0)\vec{\upsilon}(0)=(M(0)-\mu \Delta t)\vec{\upsilon}(t)+\mu \Delta t(\vec{u}+\vec{\upsilon}(t))$$

$$M(0)\vec{\upsilon}(0)=M(0)\vec{\upsilon}(t) -\mu \Delta t\vec{\upsilon}(t)+\mu \Delta t\vec{u}+\mu \Delta t\vec{\upsilon}(t)$$

$$M(0)(\vec{\upsilon}(t)-\vec{\upsilon}(0))=-\mu \Delta t \vec{u}$$

$$M(0)\Delta\vec{\upsilon}(t)=-\mu \Delta t \vec{u}$$

Почему у меня получается масса начальная, а не масса от времени?

[Nemiroff]

Atom001 в сообщении #993437 писал(а):

Масса ракеты меняется по закону $M(t)=M(0)-\mu \Delta t$

Слева есть $t$, справа нет.

[Atom001]

Nemiroff, в моём случае $\Delta t = t-0$, поэтому $ \Delta t = t$.

[Nemiroff]

Масса ракеты меняется линейно? Это кто сказал?

[Atom001]

Ну я рассуждал так: если расход топлива всё время одинаковый, то и масса ракеты убывает равномерно.

[Nemiroff]

А расход одинаковый, потому что…

[Atom001]

Потому что за любые равные (сколь угодно малые) промежутки времени из ракеты вылетают порции топлива одной и той же массы.

[Munin]

Atom001 в сообщении #993437 писал(а):

Но почему там масса переменная? Ведь если составить уравнение по ЗСИ, то поучится:

$$M(0)\vec{\upsilon}(0)=M(t)\vec{\upsilon}(t)+\mu \Delta t(\vec{u}+\vec{\upsilon}(t))$$

Это было бы верно, если бы вся масса рабочего тела была выброшена со скоростью $(\vec{u}+\vec{v}(t)).$
(Кстати, почему вы вместо правильной латинской буквы "вэ" пишете здесь похожую греческую букву "ипсилон"? Перестаньте.)

Но это не так. Представьте себе ракету на старте. Она включает двигатели, и газ (рабочее тело) несётся назад со скоростью, скажем, 4 км/сек. Постепенно ракета разгоняется, и набирает скорость 1 км/сек. Теперь скорость газа уже 3 км/сек (с точки зрения стартовой площадки). Потом ракета разгоняется до 2 км/сек, и скорость газа становится уже 2 км/сек. Постепенно дойдёт до того, что выброшенный двигателями газ будет догонять ракету.

В итоге, вся масса газа движется с разной скоростью. С какой? Этого точно заранее сказать нельзя. Но можно сказать, что в каждый короткий момент времени скорость ракеты не очень меняется, и поэтому будет верно уравнение типа того, которое вы записали. Но - именно в каждый короткий промежуток времени, от $t$ до $t+dt,$ то есть:

$$M(t)\vec{v}(t)=M(t+dt)\vec{v}(t+dt)+\mu\,dt\,(\vec{u}+\vec{v}(t+dt)).$$

Теперь, проделав вычисления, аналогичные вашим, можно прийти к

$$M(t)\,d\vec{v}=-\mu\,dt\,\vec{u},$$

а это и есть уравнение Мещерского.

[Atom001]

Munin, спасибо!