Сравнение двух операторов

[OlgaD]

Появился вопрос относительно $\ast$-оператора (оператора Ходжа) на компактной римановой поверхности.
В первом случае он определяется так: $\ast(fdz+gd\overline{z})=i(-fdz+gd\overline{z}),$ во втором случае: $\ast(fdz+gd\overline{z})=i(-\overline{g}dz+\overline{f}d\overline{z}).$ Очевидно, что на вещественных дифференциалах они совпадают. Однако все-таки это разные операторы (первый комплексно-линейный, а второй - антикомплексно-линейный). Тогда появляется вопрос: который из этих операторов правильнее назвать оператором Ходжа?

Второй вопрос тесно связан с этим оператором. Пусть $X$ - компактная риманова поверхность и $\mathcal{E}^1(X)$ - пространство дифференцируемых 1-форм на $X.$ Определим эрмитово скалярное произведение на этом пространстве по следующей формуле $\langle\omega_1,\omega_2\rangle=\iint\limits_X\omega_1\wedge\ast\omega_2$ (если использовать второе определение оператора Ходжа). Тогда мы получаем, что $\mathcal{E}^1(X)$ - унитарное, но не гильбертово пространство. Однако существует такое понятие как гильбертово пространство дифференциалов на римановой поверхности. Пространство каких дифференциалов имеется в виду?