задача для 8 класса

[sergei1961]

Не могу решить задачу из интернет олимпиады для 8 класса. Прошу помощи.
Найти при каких натуральных $m,n$ выражение

$$\frac{m^2+n^2}{mn-1}$$

является целым числом.

Ответ видимо $m=2, n=1$ или наоборот, то есть делим только на единицу.

[gris]

А $(1,3)$ и $(3,1)$ не подойдут?

[sergei1961]

Вы правы.

[Shadow]

Ничего себе для восьмого класса
обсуждалось

[sergei1961]

Мне так сказали, что за 8 класс. Спасибо. Попытаюсь разобраться с Вашим доказательством, если хватит мозгов. С первого раза не вышло, но это уже мои проблемы.

-- 18.03.2015, 20:59 --

К сожалению, мне Вашего доказательства понять не суждено, но ещё раз это мои проблемы. Я не способен понимать доказательства с пропущенными словами: предположим, теперь покажем, отсюда следует, пропущенными логическими кусками или связками. Может потому, что я кроссворды не отгадываю. Это ни в коем случае не критика, это мои проблемы. Если кто-то из обычных людей напишет это доказательство для таких же обычных и перешлёт-буду признателен.

[Shadow]

sergei1961, ладно, пока не будем об этом. Вот Вы нашли решение $m=2,n=1$, причем частное равно 5.

Хорошо, решите уравнение $\dfrac{n^2+4}{2n-1}=5$. У него есть решение $n=1$. Есть ли другое решение? (другое $n$)

[sergei1961]

Спасибо за помощь. Буду разбираться, может всё и не так сложно. Вроде только квадратное уравнение.
Вы не обижайтесь, я без критики. Просто думаю медленно, так получилось.

-- 18.03.2015, 21:55 --

Да есть $n=9$.
Вопрос: кроме 5 дробь может чему-то ещё равняться?

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #992184 писал(а):

Вопрос: кроме 5 дробь может чему-то ещё равняться?

Если речь идёт о целых значениях, то только $5$. По-моему, эта задача есть где-то в Википедии. Приём, с помощью которого она решается, называется vieta jumping.

[sergei1961]

Я понял частично. От решения $n=9$ переходим к новому уравнению, получаем $n=43$ и тд.
Что непонятно.
1) При $n=5$ мы получим все решения, или это непонятно?
2) Кроме 5 есть решения при других $k$?

nnosipov-спасибо, поищу Vieta jumping.

-- 18.03.2015, 22:18 --

Про 5-ку ничего не нашёл. Пример нашёл похожий с Vieta Jumping , но там в знаменателе $+$.
Буду благодарен за ссылку, где есть ответы на два оставшихся для меня не выясненных вопроса: как найти все решения для 5-ки, и есть ли решения кроме 5-ки.

И всем большое спасибо!

Ага, нашёл ссылку, что только 5.

[Shadow]

sergei1961 в сообщении #992187 писал(а):

как найти все решения для 5-ки

Ну, Вы на правильном пути: два соседние члена последовательности $a_n=5a_{n-1}-a_{n-2}$ с первыми членами $1,2$ и $1,3$. Можно и в аналитическом виде...если кому надо.

sergei1961 в сообщении #992187 писал(а):

и есть ли решения кроме 5-ки.

nnosipov Вам ответил.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #992187 писал(а):

Пример нашёл похожий с Vieta Jumping , но там в знаменателе $+$.

Да, к сожалению, там нет этого примера.

Вот ещё ссылка: Квант, 2002, № 3,4,6 (статья "Уравнения Пелля"). Где-то в недрах этой большой статьи эта задача должна быть.

[sergei1961]

Я посмотрел решение, которое есть на AoPS. Мне там один момент не понятен. Почему спуск вниз по решениям обязательно остановится именно когда одно из решений единица?
А с 5-кой все решения найти-это уравнение Пелля, по теории.
А то, что только 5, доказано здесь:
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h350889
Лучше не первое доказательство, наверное.
Как всё не просто оказалось.

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #992205 писал(а):

Почему спуск вниз по решениям обязательно остановится именно когда одно из решений единица?

Если оба больше единицы, то можно спуститься ещё ниже. И так до тех пор, пока единица не появится. А как только единица появилась, дальше спускаться нет резона.

[sergei1961]

Почему в процессе уменьшения решений не получатся отрицательные значения, минуя единицы. Что это гарантирует?

[Shadow]

Потому что если для корней квадратого уравнения известно, что $x_1>0$, а также $x_1x_2>0$, то $x_2>0$

-- 18.03.2015, 21:23 --

Опережая Ваш следующуй вопрос отвечу, что если $x_1 \in \mathbb{Z}$ а также $x_1+x_2 \in \mathbb{Z}$, то $x_2\in \mathbb{Z}$