Неберущийся интеграл - как искать?

[Desich1024]

Gafield писал(а):

Кроме того, в остаточном члене будут производные от многочлена в точке $x=10^4$. Получить результат с большой точностью таким образом невозможно.

Можно аппроксимировать тригонометрическим рядом: Фурье или вейвлетами. Тогда таких проблем не будет.

Gafield писал(а):

При таких допущениях думаю, что упростить вычисление вряд ли получится. Дело в том, что сама задача сложная в том смысле, что имеется много параметров, т.е. надо учесть много информации. Даже при 10^2 слагаемых график суммы синусов на промежутке порядка нескольких сотен выглядит как какая-то случайная функция....

Все ясно. Понятно что решение не тривиально. Но. Сложность - это все таки наша субъективная оценка, самой функции это по барабану =) Т.е. если бы у нас был обыкновенный интеграл выражающийся через элементарные функции, то мы бы и не подумали что функция какая-то сложная, хотя, вполне вероятно, что график у нее был бы неменее корявым. Здесь основная проблема в том, что у нас не хватает функций для выражения первообразной, либо, хватает, но мы об этом не знаем =)
Удивительно, что за сотни (тысячелетия?) лет развития интегрального и вариационного исчисления, человек до сих пор не научился осуществлять интегрирование сложных функций
Я сам достаточно глубоко в интегрирование никогда не погружался. Вы, по всей видимости, этим занимались (занимаетесь). Поэтому хочу Вас спросить: имеет ли смысл прорабатывать в моей задаче, такие приемы, как "Интегральное преобразование" на отрезке или как-то по-другому (например, преобразование Меллина, Фурье, Коши-Меллина, Гильберта, А-интеграл), использование теории возмущений?

Спасибо.

[Gafield]

То-то и оно, что как ни преобразуй, раньше или позже придется иметь дело с тем, что функция сложная. Это не совсем субъективная вещь. В математике есть понятие сложности функции. Правда, строгие утверждения доказываются для целых классов функций, но тут существенна идеология. Ситуация аналогична (и не случайно, это вещи одного характера) теории информации. Если дана какая-то последовательность нулей и единиц конечной длины, то можно говорить, что никакой неопределенности тут нет - последовательность то дана, особенно если ее длина <10. Легко описать словами. Однако, если длина 10^9, то опять можно сказать то же самое, но толку от этого будет немного, если нам надо описать эту последовательность как можно более коротким образом. Если относительно последовательности что-то хорошее известно, то может помочь идеология теории информации. Скажем, если количество единиц ровно в три раза больше количества нулей, то такие последовательности можно описать короче, и известно, как. По формуле Шеннона можно посчитать, во сколько примерно раз ее можно сократить. Если же последовательность взята "случайно", то сделать ее существенно короче (например, сжимая архиватором), скорее всего, не удастся.

Аналогия такова. Пусть даже $x_i$ фиксированны. Имеется задача вычислить функцию $f(a)=\sum_i\sin(x_i a)$. Тогда фразе "вычислить функцию" соответствует "закодировать последовательность", "вычислить быстрее" -"закодировать короче", "исходная последовательность" - "способ вычисления функции в виде суммы синусов". Вопрос заключается, почему такую функцию можно посчитать (заметно) быстрее? Что выделяет ее среди других похожих задач, которых можно придумать множество? Скажем для сумм типа $\sum_i\sin(\exp(\tan^2(x_i a)))$ тоже существует способ более быстрый, чем в лоб? Что будет являться свойством какой-то выделенности именно этой задачи - вроде "единиц в три раза больше"? То, что все функции синусы (но у них частоты $x_i$ произвольны), или то, что коэффициенты при них единицы (непонятно, как это использовать)?

А преобразовывать произвольное выражение, не зная, чем оно выделяется среди других, вряд ли приведет к чему-либо. Для последовательностей это могло бы выглядеть так. Пусть мы хотим воспользоваться свойством , что когда "единиц в три раза больше", то длину можно уменьшить. Поскольку у нас то произвольная последовательность, заменим в конце сколько надо нулей на единицы, сожмем ее, а внесенные изменения опишем отдельно. Однако для большинства последовательностей суммарная длина "сжатой последовательности" плюс "описание изменений" сильно короче не будут. Аналогичный вопрос: хорошо, пусть есть какой-то другой способ вычисления $f(a)$. Почему он будет существенно быстрее прямого? Вот в принципе, то, что я упомянул как "сложность". А заменить сумму на интеграл, применять преобразования и т.п., это все равно, что волевым порядком менять нули на единицы, а затем сжимать архиватором - вдруг получится. Только для большинства последовательностей не получится.

Конечно, все это не исключает того, что для конкретной задачи способ существует. Но тогда спрашивается, за счет чего? И вот это мне совершенно непонятно

[Desich1024]

Безусловно, с точки зрения теории информации можно рассматривать все что угодно, т.к. все есть информация. Вы читали книгу Стефена Вольфрама A New Kind of Science? Вот он там все рассматривает с позиции нулей и единиц, функции вычисляет с этой же позиции. Он даже где-то в интервью говорил что все процессы во Вселенной могут быть представлены в виде разворачивающейся программы, можно сказать рекуррентной функции. Спрашивается, за счет чего тут такое количество информации представляется гораздо меньшим количеством? Ответ: за счет закономерностей, т.е. за счет знания закона функционирования, т.е. за счет знания самой функции. Вот вам и архиватор, который в тысячи раз сжимать будет, и сумма которую можно вычислить за меньшее количество операций и т.д. Так что обоснование что интеграл найти можно, есть.
От синуса, например, мы с легкостью найдем и интеграл и сумму, если надо. Потому что знаем аналитический вид интеграла, а не потому что синус обладает какими-то особенностями, которые мы могли бы использовать...
Т.е. если расширить класс элементарных функций для моей задачи, то наверняка найдется решение, среди уже расширенного класса.
Например, неберущийся интеграл

$$\int e^{x^4}$$

выражается через гамма-функцию, но ведь не потому что в нем выявлены какие-то особенности, а потому что известен вид гамма-функции.
Кстати, Вы не ответили на мой вопрос, стоит попробовать помучиться или нет, как на ваш взгляд?

[Gafield]

Попробовать можно, хотя бы для того чтобы убедиться, что проще не будет. Однако не зная, за счет чего (каких факторов именно для этой задачи) стоило бы ожидать упрощения и, соответственно, куда двигаться, результат можно получить разве что случайно.

Можно сказать еще так. Желаемый вариант: $f(a)$ приближенно вычисляется как композиция $g_1(g_2(a,c_1,\ldots,c_m),g_3(\ldots),\ldots)$ некоторых "элементарных" (аналитических?) функций $g_1,\ldots,g_k$ и параметров $c_1,\ldots,c_m$, вычисляемых по $x_i$: $c_j=c_j(x_1,\ldots,x_n)$. Спрашивается, каковы будут эти числа $k,m$? Если они по порядку величины сравнимы с $n=10^4$, то в чем выигрыш, а если они малы, то почему? Представление функций некоторого числа переменных в виде композиции функций меньшего числа переменных тоже имеет отношение к вопросу о "сложности" функций. На этот счет имеются различные утверждения. Например, не любую аналитическую функцию $n\ge3$ переменных можно представить (хотя бы локально) в виде композиции аналитических функций меньшего числа переменных. То есть, функции $n$ пременных устроены, в некотором смысле, сложнее, чем от $n-1$ переменных. А ведь все элементарные функции, и интегралы от них, являются аналитическими.

[Desich1024]

Нда, грустно все однако. Но, по-моему, через ряды можно как-то решить все-таки. Если подключить, кроме рядов Тейлора, например, тригонометрические ряды. $sin(ax)$ замечательно разлагается в тригонометрический ряд, и $a$ при этом замечательно выделяется (для усложненного варианта тоже подходит), вобщем попробую еще... подумаю...

Спасибо за помощь!