Предел среднего арифметического

[nnosipov]

Для натуральных $n$ рассмотрим

$$ Q(n)=\sum_{d|n} \chi(d), \quad \chi(d)=\begin{cases} +1, & d \equiv 1,\,7 \pmod{8},\\ -1, & d \equiv 3,\,5 \pmod{8},\\ \hfill 0, & \text{иначе} \end{cases} $$

Требуется найти

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q(1)+Q(2)+\ldots+Q(n)}{n}. $$

[Руст]

$$S=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Q(k)=\frac 1n \sum_{d=1}^n [\frac{n}{d}]\chi(d)=\frac 1n( \sum_{8k\le n}[\frac{n}{8k+1}]+\frac{n}{8k+7}]-[\frac{n}{8k+3}]-[\frac{n}{8k+5}]) +O(\frac 1n).$$

Отсюда получается предел

$$\lim_{n\to \infty}S=S_0=\sum_k \frac{\chi(k)}{k}=\zeta(1,\chi)=\prod_{p>2}\frac{1}{1-\frac{(\frac 2p)}{p}}.$$

[ИСН]

Железка сводит к $\operatorname{arcsh}1\over\sqrt2$.

[ex-math]

Руст
А как Вы от $O (1) $ избавляетесь при отбрасывании антье? Оно же весь предел испортит.

Такие штуки методом комплексного интегрирования решаются почти не думая, но это требует многих дополнительных сведений.

-- 15.03.2015, 13:54 --

ИСН
Ну это просто ряд надо просуммировать. Через Фурье наверно.

[Руст]

ex-math в сообщении #990616 писал(а):

Руст
А как Вы от $O (1) $ избавляетесь при отбрасывании антье? Оно же весь предел испортит.

Можно отдельно рассмотреть сумму, пока $8k<\sqrt{n}$ (тут количество долей от 1 порядка $\sqrt n$ после деления на n исчезают в пределе) и
случай $8k>\sqrt n$. Последний случай разбиваем на интервалы, где
$8k+7\le \frac{n}{m}, 8k+1>\frac{n}{m+1}$. Таких интервалов $m$ порядка $\sqrt n$, а внутри интервала сумма 0, за счет нестыковок по краям накаливается $O(\sqrt n)$,
после деления на n они исчезают в пределе.

[ex-math]

Да, так проходит.

Но мне кажется, что nnosipov имел в виду какой-то скрытый смысл этой суммы. Скажем, если взять неглавный характер по модулю 4, то такая сумма даст число представлений $n $ суммой двух квадратов.

[nnosipov]

ex-math в сообщении #990616 писал(а):

Такие штуки методом комплексного интегрирования решаются почти не думая, но это требует многих дополнительных сведений.

Не совсем понял: "такие штуки" --- Вы имеете в виду исходную задачу или что-то из решения, которое предложил Руст?

Насчёт дополнительных сведений Вы, конечно, правы. Если знать, что $Q(1)+\ldots+Q(n)$ --- это число целых точек в области

$$ |x^2-2y^2| \leqslant n, \quad 1 \leqslant x+y\sqrt{2}<1+\sqrt{2}, $$

то всё просто. Но и прямой подсчёт, сделанный Рустом, тоже хорош.

-- Вс мар 15, 2015 20:35:14 --

ex-math в сообщении #990680 писал(а):

Но мне кажется, что nnosipov имел в виду какой-то скрытый смысл этой суммы.

Да, каюсь Но Руст этот туман легко развеял.

[ex-math]

nnosipov
Вы предложили найти асимптотику среднего значения мультипликативной функции. Есть стандартный способ -- записать в виде комплексного интеграла, включающего соответствующий ряд Дирихле, аналитически продолжить подынтегральную функцию и перенести контур интегрирования левее. Это делается полуавтоматически, если известны формула Перрона и теория $L$-функций Дирихле. Их я и назвал дополнительными сведениями.

А по поводу целых точек были подозрения. Очень красиво. А как можно доказать эту связь суммы с целыми точками?

-- 15.03.2015, 22:19 --

Тут что-то с уравнениями Пелля надо крутить?

[nnosipov]

ex-math в сообщении #990820 писал(а):

Тут что-то с уравнениями Пелля надо крутить?

Угу. Помогает то, что поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ одноклассно. (Впрочем, какие-то тонкие детали этого дела я могу не понимать.)

ex-math в сообщении #990820 писал(а):

Есть стандартный способ -- записать в виде комплексного интеграла, включающего соответствующий ряд Дирихле, аналитически продолжить подынтегральную функцию и перенести контур интегрирования левее. Это делается полуавтоматически, если известны формула Перрона и теория $L$-функций Дирихле. Их я и назвал дополнительными сведениями.

Теперь понятно, спасибо.

-- Пн мар 16, 2015 02:35:46 --

ex-math в сообщении #990820 писал(а):

А как можно доказать эту связь суммы с целыми точками?

Завтра найду точную ссылку из "Теории чисел" Боревича-Шафаревича. Если вкратце, то $Q(n)$ --- число дивизоров поля $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ с нормой $n$.

Вот, на всякий случай: задача 17 в конце параграфа 8 главы III.

[ex-math]

А, теперь понятно, где искать. Спасибо.