2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 решение дифф. уравнения
Сообщение08.03.2015, 16:32 


08/03/15
4
Имеется следующее дифф. уравнение:
$$
x^2 y_n^{''}(x)+y_n^{'}(x)=-n y_{n-1}(x),
$$
где $n=1,2,\ldots$ и $y_0(x)=1$. Начальные условия: $y_n(0)=y_n(1)=0$ для $n=1,2,\ldots$.

Легко показать что $y_1(x)=1-x$. Для $n=2,3,\ldots$ можно использоваться комбинацией методов понижения порядка и интегрального множителя. Допустим $y_{n-1}(x)$ известно. Тогда пусть $u_n(x)=y_n^{'}(x)$ и имеем: $x^2 u_n^{'}(x)+u_n(x)=-n y_{n-1}(x)$. Далее интегральный множитель:
$$
M(x)=\int^x \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x},
$$
и общее решение
$$
u_n(x)=e^{-M(x)}\int^x e^{M(t)} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt= e^{1/x}\int_0^x e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt
$$
откуда
$$
y_n(x)
=
\int^x e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt\right] ds.
$$

Уже для $n=2$ вычисление $y_2(x)$ представляет определенные трудности т.к. там возникают интегралы от специальных функций. Вопрос такой: можно ли представить $y_n(x)$ в виде некоторого ряда и рекуррентно вычислять коэффициенты ряда для $y_n(x)$ в терминах аналогичных коэффициентов ряда для $y_{n-1}(x)$?

Некоторые мои соображения: используем
$$
y_n^{'}(x)=e^{1/x}\int_0^x e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt,
$$
откуда
$$
e^{-1/x}y_n^{'}(x)=-n\int_0^x \left[\frac{d}{dt}e^{-1/t}\right]  y_{n-1}(t) dt,
$$
и если использовать интегрирование по частям в правой части то
$$
e^{-1/x}y_n^{'}(x)=-n e^{-1/t} y_{n-1}(t)\left|_{t=0}^{t=x}\right.+n\int_0^x e^{-1/t}y_{n-1}^{'}(t)dt.
$$

Получаем рекурсию на $v_n(x)=e^{-1/x} y_n^{'}(x)$:
$$
v_n(x)=f_n(x)+n \int_0^x v_{n-1}(t) dt,
$$
где $f_n(x)=-n e^{-1/x} y_{n-1}(x)$.

Можно ли отсюда получить представление хотя бы $v_n(x)$ в виде ряда и связать коэффициенты ряда для $v_n(x)$ с аналогичными коэффициентами ряда дла $v_{n-1}(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение08.03.2015, 22:03 
Заслуженный участник


23/07/08
7544
Харьков
acdc в сообщении #987442 писал(а):
Начальные условия: $y_n(0)=y_n(1)=0$ для $n=1,2,\ldots$.
Легко показать что $y_1(x)=1-x$.
Как это совместить?

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение09.03.2015, 04:01 


08/03/15
4
svv в сообщении #987560 писал(а):
acdc в сообщении #987442 писал(а):
Начальные условия: $y_n(0)=y_n(1)=0$ для $n=1,2,\ldots$.
Легко показать что $y_1(x)=1-x$.
Как это совместить?


Я опечатался, условия на самом деле должны быть $y_n(1)=0$ и $y_n^{'}(0)=0$. Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид:
$$
y_n(x)
=
\int_x^1 e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt\right] ds.
$$

Легко видеть что $y_n(1)=0$ и
$$
y_n^{'}(x)=-e^{1/x}\int_0^x e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt
$$
откуда $y_n'(0)=0$.

При $n=1$ используя $y_0(x)=1$ имеем
$$
y_1(x)=
-\int_x^1 e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{dt}{t^2}\right] ds=-\int_x^1 e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{dt}{t^2}\right] ds=1-x.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение09.03.2015, 11:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
Если $y'_1(x)=1-x$, то $y'_1(0)=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение09.03.2015, 18:14 


08/03/15
4
mihiv в сообщении #987767 писал(а):
Если $y'_1(x)=1-x$, то $y'_1(0)=-1$


Общее решение:
$$
y_n(x)
=
\int_x^1 e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt\right] ds,
$$
где $y_0(x)=1$. Для $x\not\in[0,1]$ решение нулевое.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение10.03.2015, 17:00 
Заслуженный участник


03/01/09
1182
москва
acdc в сообщении #987682 писал(а):
$$y_n^{'}(x)=-e^{1/x}\int_0^x e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt
$$
откуда $y_n'(0)=0$.

Равенство 0 производной из этой формулы не следует, потому что хотя при $x\to 0,\int \limits _0^x\to 0$, но $e^{\frac 1x\to \infty $. Получаем неопределенность, если ее раскрыть, получим $y'_n(0)=-ny_{n-1}(0)$, в частности, при $n=1,y'_1(0)=-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: решение дифф. уравнения
Сообщение15.03.2015, 16:11 


08/03/15
4
mihiv в сообщении #988251 писал(а):
Равенство 0 производной из этой формулы не следует, потому что хотя при $x\to 0,\int \limits _0^x\to 0$, но $e^{\frac 1x\to \infty $. Получаем неопределенность, если ее раскрыть, получим $y'_n(0)=-ny_{n-1}(0)$, в частности, при $n=1,y'_1(0)=-1$.


Ну конечно, я неверно указал второе граничное условие. Условие должно быть: $\lim_{x\to 0}e^{-1/x} y_n^{'}(x)=0$. Спасибо за корректировку.
Тем не менее основной вопрос так и остается открытым: можно ли каким-то образом рекурсивно находить коэффициенты ряда разложения $y_n(x)$ через аналогичные коэффициенты ряда для $y_{n-1}(x)$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group