Имеется следующее дифф. уравнение:

где

и

. Начальные условия:

для

.
Легко показать что

. Для

можно использоваться комбинацией методов понижения порядка и интегрального множителя. Допустим

известно. Тогда пусть

и имеем:

. Далее интегральный множитель:

и общее решение

откуда
![$$
y_n(x)
=
\int^x e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt\right] ds.
$$ $$
y_n(x)
=
\int^x e^{1/s}\left[\int_0^s e^{-1/t} \frac{-n y_{n-1}(t)}{t^2} dt\right] ds.
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/4/794cda7a6cb01769637fdab46be7f56482.png)
Уже для

вычисление

представляет определенные трудности т.к. там возникают интегралы от специальных функций. Вопрос такой: можно ли представить

в виде некоторого ряда и рекуррентно вычислять коэффициенты ряда для

в терминах аналогичных коэффициентов ряда для

?
Некоторые мои соображения: используем

откуда
![$$
e^{-1/x}y_n^{'}(x)=-n\int_0^x \left[\frac{d}{dt}e^{-1/t}\right] y_{n-1}(t) dt,
$$ $$
e^{-1/x}y_n^{'}(x)=-n\int_0^x \left[\frac{d}{dt}e^{-1/t}\right] y_{n-1}(t) dt,
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/c/8dc76f7ad542a2b94a551705c721480082.png)
и если использовать интегрирование по частям в правой части то

Получаем рекурсию на

:

где

.
Можно ли отсюда получить представление хотя бы

в виде ряда и связать коэффициенты ряда для

с аналогичными коэффициентами ряда дла

?