Линейное отображение

[Viktor92]

svv в сообщении #990277 писал(а):

Вы можете к произвольному синему вектору прибавить красный, либо к красному прибавить произвольный синий — всё равно получится множество, изображенное зеленым цветом. Это и есть линейное многообразие $M$.

Я так понял под линейным многообразием понимается в данном случае множество векторов, концы которых лежат в зелёной плоскости? Но сами векторы (результат суммы синего и красного) не лежат в данной плоскости и их линейная оболочка должна всё равно быть подпространством размерностью 2?

[svv]

Векторы часто изображают стрелочками. Это удобно и наглядно, когда их надо изобразить на рисунке, показать результат их сложения или вычитания. А так, вообще-то, вектор — это просто точка векторного (линейного) пространства. Правило сопоставления точек и стрелочек: переместим параллельно стрелочку так, чтобы её начало совпало с началом координат (если начало уже не находится там). Тогда конец стрелочки будет находиться в точке, соответствующей вектору.

И да, когда мы говорим про линейное многообразие (и другие множества векторов), мы имеем в виду множество точек, соответствующих векторам. Эти точки (концы стрелочек) образуют плоскость. Плоскость двумерна.

Но так как эта плоскость не является подпространством, линейная оболочка всех этих векторов не совпадает с плоскостью (а дает уже всё пространство $\mathbb R^3$). В отличие от подпространства: в нём сколько ни строй линейную оболочку входящих в него векторов, за пределы самого подпространства не выйдешь.

-- Сб мар 14, 2015 20:27:32 --

Обратите внимание, что синие векторы в зеленое многообразие не входят. Если переместить их стрелочки, как я описал, их концы будут лежать в голубой, но не в зелёной плоскости.

[Viktor92]

svv в сообщении #990370 писал(а):

А так, вообще-то, вектор — это просто точка векторного (линейного) пространства.

Такое пространство ещё называют аффинным?

svv в сообщении #990370 писал(а):

Но так как эта плоскость не является подпространством, линейная оболочка всех этих векторов не совпадает с плоскостью (а дает уже всё пространство $\mathbb R^3$)

Правильно ли я понимаю,что линейное многообразие не является подпространством , т.к. не проходит через $\mathbf{0}$-вектор (зелёная плоскость на вашем рисунке), размерность этого многообразия равна 2, но при этом линейная оболочка всех векторов многообразия, это уже $\mathbb{R}_3$, вот это слегка смущает, ведь обычно размерность какого-либо пространства совпадает с размерностью его линейной оболочки, а у линейного многообразия не так.

[svv]

Viktor92 в сообщении #990379 писал(а):

Правильно ли я понимаю,что линейное многообразие не является подпространством , т.к. не проходит через $\mathbf{0}$-вектор (зелёная плоскость на вашем рисунке), размерность этого многообразия равна 2, но при этом линейная оболочка всех векторов многообразия, это уже $\mathbb{R}_3$, вот это слегка смущает, ведь обычно размерность какого-либо пространства совпадает с размерностью его линейной оболочки, а у линейного многообразия не так.

Совершенно верно. Линейное многообразие не пространство. Не обладает свойством замкнутости относительно сложения и умножения на число (линейная комбинация векторов не обязательно лежит в том же множестве). Например, в плоскости $x_1+x_2+x_3=1$ лежат все три стандартных базисных вектора $\mathbf e_1=(1,0,0)$ и т.д. (Вы понимаете: лежат не сами стрелочки, а только их концы), но линейными комбинациями трех базисных векторов можно представить уже любой вектор из $\mathbb R^3$. Даже просто сложив три базисных вектора, получим $(1,1,1)$, не лежащий в плоскости. С подпространствами так не бывает.

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #990379 писал(а):

Такое пространство ещё называют аффинным?

Векторное пространство является аффинным над собой, но в общем случае аффинное не обязательно векторное (как раз линейные многообразия — тоже аффинные пространства). От точек аффинного требуется только существование комбинаций вида $\lambda A+\mu B, \lambda+\mu=1$, и его автоморфизмы включают параллельные переносы, тогда как векторное гарантирует существование любой линейной комбинации, но зато его автоморфизмы параллельных переносов не включают и оставляют ноль на месте.

[Viktor92]

arseniiv в сообщении #990392 писал(а):

Векторное пространство является аффинным над собой, но в общем случае аффинное не обязательно векторное (как раз линейные многообразия — тоже аффинные пространства).

Правильно ли я понимаю построение аксиоматики пространств: сначала было линейное пространство, в котором каждый вектор проходит одним концом через нулевой вектор, потом определяется аффинное пространство, где вектор соединяет любые две точки, потом вводится скалярное произведение и из него модуль вектора (норма), угол между векторами и расстояние между точками (метрика), такое пространство называется евклидовым (унитарным над полем комплексных чисел), а его обобщённое для бесконечной размерности, называется гильбертовым.

[arseniiv]

Аффинное пространство для следующих построений не используется. Потом, в самом аффинном пространстве векторов нет, они берутся из присоединённого векторного. Эти векторы взаимно однозначно соответствуют параллельным переносам аффинного пространства, потому такой вектор можно считать соединяющим две точки и таскать куда попало.