2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 00:01 


15/12/05
754
Прошу помочь определить - имеет ли уравнение целочисленные решения, если все переменные взаимно простые и небольшое уточнение: правая часть не приводится к виду: $(cd + g)ab$?
$\frac {ca} b e - \frac {db} a f = cd + g$
Также интересует случай, когда $b=a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 01:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Не очень понятна Ваша оговорка, здесь видна такая: $a\neq 0;\ b\neq 0.$ Тогда имеем право домножить всё на $ab$ и получить: $cea^2-dfb^2-(cd+g)ab=0$ Если пара слагаемых в такой сумме имеют общий делитель $D>1$, то и третье кратно $D$. Под "все переменные взаимно простые" понимается "попарно вз. просты"? Тогда $\left| a\right|=\left| b\right|=1.$
$g=ce-df-cd$ или с минусом. То же и для $b=a.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 06:56 


15/12/05
754
Благодарю за ответ. Уточняю, что все переменные попарно взаимно просты.
Из Вашего ответа я понял, а для себя сделал важный вывод: что уравнение не имеет решения, при $b \neq a$, a для случая $b=a$ решение выглядит так: $g=ce - df - cd$
Решений бесконечное множество, например: $c=3$, $d=5$ , тогда: $g=3e - 5f - 15$, а если $c$ и $d$ являются вещественными или рациональными дробными числами, то g не может быть целочисленным. Как это можно доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Всё так. Но последнее не верно в точности до наоборот. $c=\frac{g+df}{e-d}.$ Возьмите $g$ за целый аргумент, и для каждого вещественного $d$ найдете вещественное $c$. То же и с рациональными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 10:06 


15/12/05
754
Так то так, a если $cd$ - целое число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сопутствующее уравнение
Сообщение14.03.2015, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург

(Оффтоп)

- Последний вопрос, и я ставлю Вам пять. Где появился первый человек?
- В Таганроге.
- Почему?
- Профессор, но это уже второй вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group