2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенства-близнецы
Сообщение31.01.2008, 18:43 
Заслуженный участник


03/12/07
372
Україна
Пускай $x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n $ произвольные положительные числа. Доказать неравенства-близнецы:
$\frac{{x_1 }}{{1 + x_1^2 }} + \frac{{x_2 }}{{1 + x_1^2  + x_2^2 }} +  \ldots  + \frac{{x_n }}{{1 + x_1^2  +  \ldots  + x_n^2 }} < \sqrt n $ (Shortlist IMO 2001)

и

$\frac{1}{{1 + x_1^2 }} + \frac{1}{{1 + x_1^2  + x_2^2 }} +  \ldots  + \frac{1}{{1 + x_1^2  +  \ldots  + x_n^2 }} < \sqrt {\frac{1}{{x_1^2 }} + \frac{1}{{x_2^2 }} +  \ldots  + \frac{1}{{x_n^2 }}} $ (Украинская Internet MO 2005)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2008, 19:13 


21/03/06
1545
Москва
Как-нибудь, да эти неравенства должны сходиться к средним степенным. Уж больно похожи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2008, 20:49 


17/01/08
110
Первое неравенство:

заметим, что при $x_k \geqslant \sqrt {1+...+{x_{k-1}^2}$ функция убывает по $x_k$. Поэтому максимальное значение ее достигается, когда выполнено $x_k \leqslant \sqrt{1 + ... + {x_{k-1}}^2}$. Тогда k-ое слагаемое $\leqslant \frac 1 {2{x_k}}$. С другой стороны, при выполнении описанных выше условий $x_k \leqslant \sqrt{k}$, поэтому вся сумма $\leqslant \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 {2\sqrt{k}} < \sqrt{n}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group