Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #982531 писал(а):

А давайте, Вы её "пятой" назовёте? Поскольку к той, что называлась "второй", она не имеет ни малейшего отношения.

Не надо плодить модели. Старых второй и четвертой вероятностных моделей нет.
Мне бы хотелось услышать Ваше мнение о новой четвертой вероятностной модели?

[--mS--]

Понимаю, Вы хотите запутать тех, кто будет искать, что такое "2-я (4-я) модель" и начнёт с первых страниц :)
В новой 4-й с точностью до опечаток всё верно. Вот только зачем это всё?

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #982728 писал(а):

В новой 4-й с точностью до опечаток всё верно. Вот только зачем это всё?

Большое спасибо! Мне нужно было убедиться в верности модели с вероятностной точки зрения.
Новая четвертая вероятностная модель является обобщением модели Крамера (распределения простых чисел в натуральном ряде)
на распределение простых чисел в арифметической прогрессии.

[vicvolf]

Продолжим разговор об оценке точности гипотезы Харди-Литлвуда для простых кортежей.

Рассмотрим сначала случай простых близнецов.

В начале гипотезы Харди-Литлвуда делается эвристическое предположение, что вероятность большого натурального числа $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

Строго говоря это эвристическое предположение не верно. Так как существует только вероятность заранее неизвестного наугад выбранного числа из конечного интервала натурального ряда быть простым. С другой стороны, данная вероятность, как было показано в модели 1, равна $1/\ln(n)+o(1/\ln(n))$.

Однако, следуя авторам гипотезы, будем считать, что эвристическое предположение справедливо.
Тогда:
1. Cуществует вероятность события $A$ - большого натурального числа $n$ быть простым.
2. Данная вероятность равна: $P(A)=1/\ln(n)$. (1)

Следуя далее этому предположению существует вероятность события $B$ большого натурального числа $n+2$ быть простым - P(B).

Тогда, учитывая зависимость события $B$ от события $A$ можно записать:
$P(B/A)=C/\ln(n)$, (2)
где $C$ - коэффициент зависимости события $B$ от события $A$.

На основании формулы вероятности произведения событий и учитывая формулы (1), (2) можно записать:
$P(A \cdot B)= P(A) \cdot P(B/A)=1/\ln(n) \cdot C/\ln(n)=C/\ln^2(n)$, (3)
где $P(A\cdot B)$ является вероятностью, что оба натуральные числа $n$ и $n+2$ являются простыми, т.е. являются простыми близнецами.

Если гипотеза Харди-Литлвуда справедлива, то в формуле (3):
$C=2 \cdot \prod_{p>2} (1-2/p)/(1-1/p)^2=2 \cdot 0,660166181...=1,320323632...$. (4)

[vicvolf]

Теперь вернемся к вероятностной модели Крамера распределения простых чисел.

В работе Гренвилле, на которую ранее ссылалась swedka, говорится о неточностях модели Крамера.
В частности, что существенно для рассматриваемой проблемы, события, что натуральные числа $n, n+2$ являются простыми близнецами в модели Крамера являются независимыми.

Однако, в гипотезе Харди-Литлвуда для простых близнецов данные события являются зависимыми. Поэтому для рассмотрения распределения простых близнецов требуется уточнение вероятностной модели Крамера.
В общем случае в гипотезе Харди-Литлвуда для простых $k$-корежей, события, что натуральные числа $n+2m_1,n+2m_2,...,n+2m_k$ являются простыми также являются зависимыми. Поэтому для рассмотрения распределения простых $k$- кортежей также требуется уточнение модели Крамера.

В качестве уточнения вероятностной модели Крамера примем, что события (натуральные числа $n+2m_1,n+2m_2,...,n+2m_k$ будут одновременно простыми в $k$-кортеже) являются зависимыми, а события появления отдельных $k$-кортежей в натуральном ряде являются независимыми.
Данного уточнения вероятностной модели Крамера достаточно для нахождения распределения простых кортежей в натуральном ряде и определения точности гипотезы Харди-Литлвуда о простых кортежах с вероятностью близкой к 1.

Обобщим вероятностную модель Крамера для случая распределения простых близнецов.

Пусть $U_1,...U_i,....$ бесконечный ряд урн, содержащих черные и белые шары и вероятность выбрать белый шар из $i$ -ой урны равна $p_i$.
Последовательность выбора урн произвольна.

Предположим, что только один шар может быть выбран из каждой урны, поэтому при выборке получается бесконечная последовательность черных и белых шаров.
Пусть $P_i$ обозначает номер урны, из которой выбирается $i$ -ый белый шар в серии.
Мы будем рассматривать класс $K$ из всех возможных последовательностей $(P_i)$, для которых $P_1,P_2,...$ будет возрастающей последовательностью неотрицательных целых чисел.

Для определенности в данной теме вероятностную модель распределения простых близнецов назовем пятой вероятностной моделью.

Последовательность простых близнецов это последовательность натуральных чисел $n$, для которых числа $n,n+2$ одновременно являются простыми.
Поэтому последовательность простых близнецов является подпоследовательностью простых чисел.
Следовательно, последовательность $(P_i)$ в данном случае является целочисленной, неотрицательной, строго возрастающей, поэтому принадлежит к классу $K$ модели Крамера.

Положим, что вероятность выбрать белый шар из $i$ -ой урны в пятой вероятностной модели равна $p_i=C/\ln^2(i)$, (5)
где $C$ определяется по формуле (4).

Обозначим $I(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$ ($I(x)$ - случайная величина).
Обозначим $I_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$ -ой урна достается белый шар и значение 0, в противном случае.
Поэтому случайная величина $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$ - сумма независимых случайных величин.

[vicvolf]

Найдем характеристики пятой вероятностной модели для последовательности простых близнецов.

Математическое ожидание случайной величины $I(x)$ на основании формулы (35) равно:

$M(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C/\ln^2(i)}\approx C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} $. (6)

Обратите внимание, что количество простых близнецов в гипотезе Харди-Литлвуда определяется именно по такой формуле.

Дисперсия случайной величины $I(x)$ на основании формулы (36) равна:

$$D(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C/\ln^2(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(C^2/\ln^4(i)) \approx C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} -C^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^4(t)}$ $. (7)

Теперь о точности формул (6) и (7).

Ранее было доказано утверждение, что для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ при $A>1$ выполняется оценка:
$B<0,6202 F(k+1)$, (8) где $B=\lim_{n \to \infty}|\sum_{i=0}^{n} {F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}|$.

Для $F(x)=1/\ln^2(x)$ на основании (8) выполняется $B<0,6202 \cdot 1/\ln^2(3)=0,6783$.
Так как $C=1,32...$, то $1,32 B <0,9$, поэтому ошибка в формуле (6) пренебрежимо мала. Аналогично в формуле (7).

Учитывая, что ряд $\sum_{i=2}^{\infty}{C/\ln^2(i)}-\sum_{i=2}^{\infty}{C^2/\ln^4(i)}$ расходится, то на основании доказанного утверждения (сообщение от 18.02.2015) выполняется условия ЦПТ в форме Ляпунова.

Поэтому для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|I(x)-C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}|<S\sqrt{C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} -C^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^4(t)}}) \approx F(S)$, (9) где $F(S)$ - значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $S$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $S$, чтобы вероятность выполнения соотношения (9) была сколь угодно близка к 1.

[vicvolf]

Сопоставим разницу между количеством простых близнецов на интервале от 2 до $x$, определенного на основании гипотезы Харди-Литлвуда, и фактического количества простых близнецов с величиной среднеквадратичного отклонения, полученного по формуле (9): $\sqrt{C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} -C^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^4(t)}} $, (10) где $C=1,32...$.

При $x=10^5$ фактическое количество простых близнецов равно $1224$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $1249$, разница - $25$, среднеквадратичное отклонение - $35$.

При $x=10^6$ фактическое количество простых близнецов равно $8169$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $8248$, разница - $79$, среднеквадратичное отклонение - $90$.

При $x=10^7$ фактическое количество простых близнецов равно $58980$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $58754$, разница - $-226$, среднеквадратичное отклонение - $242$.

Обратим внимание, что при $x=10^7$ разница отрицательна, а при $x=10^5, 10^6$ - положительна, что соответствует нормальному распределению вероятностей.
Также интересно небольшое отклонение количества простых близнецов, определенное на основании гипотезы Харди-Литлвуда, от фактического значения.
Данное отклонение не превосходит одно значение среднеквадратичного отклонения, определенного по формуле (10).

[--mS--]

vicvolf в сообщении #988264 писал(а):

Сопоставим разницу между количеством простых близнецов на интервале от 2 до $x$, определенного на основании гипотезы Харди-Литлвуда, и фактического количества простых близнецов с величиной среднеквадратичного отклонения, полученного по формуле (9): $\sqrt{C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} -C^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^4(t)}} $, (10) где $C=1,32...$.

Вас совершенно невозможно оставить одного! Нигде во всех рассмотрениях выше не было никакого "фактического количества простых близнецов". Откуда взялось?

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #988272 писал(а):

Вас совершенно невозможно оставить одного!

И не оставляйте. Мне с Вами приятно общаться. Кстати с прошедшим праздником!

Цитата:

Нигде во всех рассмотрениях выше не было никакого "фактического количества простых близнецов". Откуда взялось?

Честное слово это не я придумал простые близнецы! Они реально существуют, их фактическое количество можно подсчитать ручками и глазками, а для таких ленивых как я - просто взять из таблицы. Затем определить отклонение фактического количества от рассчитанного на основании гипотезы Харди-Литлвуда и учитывая, что

vicvolf в сообщении #987014 писал(а):

Математическое ожидание случайной величины $I(x)$ на основании формулы (35) равно:
$M(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C/\ln^2(i)}\approx C\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)} $. (6)
Обратите внимание, что количество простых близнецов в гипотезе Харди-Литлвуда определяется именно по такой формуле.

, грешно не сопоставить найденное отклонение со средним квадратичным, определенным по формуле (10).

[--mS--]

А, прошу прощения: я-то сослепу подумала, что Ваше сообщение post988264.html#p988264 что-то эдакое утверждает про разницу "тех, которые" и "тех самых". А там просто сравнивается что-то такое с чем-то сяким.

(Оффтоп)

Спасибо за поздравление :)

[vicvolf]

Теперь рассмотрим случай простых $k$-кортежей.

Напомним, что $k$- кортежем называется конечное пожмножество натуральных чисел: $n+2m_1,...n+2m_k$, где $m_1,...m_k$ - фиксированные натуральные числа $(m_1<...<m_k)$, а $n$- любое натуральное число.

Примеры кортежей-триплетов $(n, n+2, n+6)$: $(1,5,11), (2,6,12),(3,7,13)$.

При некоторых значениях $n$ все числа $k$-кортежа $n+2m_1,...n+2m_k$ принимают простые значения. Такой $k$ - кортеж называется простым.

Примеры простых кортежей $(p,p+2,p+6,p+8)$: $(5,7,11,13),(11,13,17,19)$.

Из рассмотрения сразу исключим $k$-кортежи, при которых числа $n+2m_1,...n+2m_k$ образуют полную систему вычетов по модулю $p$, где $p$-простое число, не превосходящее $k$, так как таких кортежей конечное количество. Например, существует только один простой триплет $(p,p+2,p+4)$ - $(3,5,7)$.

Обозначим $B_i$ событие, что числа $n+2m_i$ являются простыми. Как уже ранее говорилось, на основании гипотезы Харди-Литлвуда, события $B_i,...B_k$ являются зависимыми.
Обозначим $B$ событие, что одновременно все числа $n+2m_i$ являются простыми. Тогда $B=\prod_{i=1}^k {B_i}$.

Предположим, что выполняются все предположения гипотезы Харди-Литлвуда и в том числе эвристическое предположение, что:
1. Существует вероятность натурального числа быть простым.
2. Вероятность большого натурального $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

Тогда на основании гипотезы Харди-Литлвуда вероятность, что одновременно все $n+2m_i$ являются простыми равна:
$P(B)=C(p,m_1,...m_k)/\ln^{k+1}(n)$, (11)
где $C(p,m_1,...m_k)$ - коэффициент зависимости событий $B_i$.

Значение коэффициента зависимости на основании гипотезы Харди-Литлвуда равно:
$C(p,m_1,...m_k)=2^k \prod_{p>2} (1-w(p,m_1,...m_k)/p)/(1-1/p)^{k+1}$, (12)
где $w(p,m_1,...m_k)$- число решений сравнения $(x+2m_1)(x+2m_2)...(x+2m_k) \equiv 0(\mod p)$.

[vicvolf]

Существует много определений $k$-кортежей. В некоторой литературе считается, что $k$-кортеж содержит $k$-расстояний между числами: $h_1,...h_k$, т.е. состоит из $k+1$ чисел: $n, n+h_1,...n+h_k$.
Я буду оставаться на позиции , что $k$-кортеж состоит из $k$- натуральных чисел. Кроме того более удобно, чтобы первый член обозначался, как $n$.

В свете этого подхода я отредактирую последнее сообщение.

$k$- кортежем называется конечное пожмножество натуральных чисел: $n, n+2m_1...n+2m_{k-1}$, где $m_1,...m_{k-1}$ - фиксированные натуральные числа $(m_1<...<m_{k-1})$, а $n$- любое натуральное число.

Примеры кортежей-триплетов $(n, n+2, n+6)$: $(1,5,11), (2,6,12),(3,7,13)$.

При некоторых значениях $n$ все числа $k$-кортежа $n,n+2m_1,...n+2m_{k-1}$ принимают простые значения. Такой $k$ - кортеж называется простым.

Примеры простых кортежей $(p,p+2,p+6,p+8)$: $(5,7,11,13),(11,13,17,19)$.

Из рассмотрения сразу исключим $k$-кортежи, при которых числа $n, n+2m_1...n+2m_{k-1}$ образуют полную систему вычетов по модулю $p$, где $p$-простое число, не превосходящее $k$, так как таких кортежей конечное количество. Например, существует только один простой триплет $(p,p+4,p+8)$ - $(3,7,11)$.

Обозначим $B_1$ событие, что число $n$ являются простым.
Обозначим $B_2$ событие, что число $n+2m_1$ являются простым.
......
Обозначим $B_k$ событие, что число $n+2m_{k-1}$ являются простым.
Как уже ранее говорилось, на основании гипотезы Харди-Литлвуда, события $B_1,...B_k$ являются зависимыми.

Обозначим $B$ событие, что одновременно все числа кортежа являются простыми. Тогда $B=\prod_{i=1}^k {B_i}$.

Предположим, что выполняются все предположения гипотезы Харди-Литлвуда и в том числе эвристическое предположение, что:
1. Существует вероятность натурального числа быть простым - $P(B_1)$.
2. Вероятность $P(B_1)=1/\ln(n)$ для больших $n$.

Тогда на основании гипотезы Харди-Литлвуда вероятность, что одновременно все числа кортежа являются простыми равна:
$P(B)=C(m_1,...m_{k-1})/\ln^{k}(n)$, (11)
где $C(m_1,...m_{k-1})$ - коэффициент зависимости событий $B_i$.

Значение коэффициента зависимости на основании гипотезы Харди-Литлвуда равно:
$C(m_1,...m_{k-1})=2^{k-1} \prod_{p>2} (1-w(m_1,...m_{k-1})/p)/(1-1/p)^{k}$, (12)
где $w(m_1,...m_{k-1})$- число решений сравнения $x(x+2m_1)...(x+2m_{k-1}) \equiv 0(\mod p)$.

В частном случае при $k=2$ и $m_1=1$ получаем формулу (4) для простых близнецов.

[vicvolf]

Обобщим вероятностную модель Крамера для случая простых $k$-кортежей: $p, p+2m_1,...p+2m_{k-1}$.

Назовем для определенности данную модель - шестой вероятностной моделью.
Отличие шестой вероятностной модели от пятой заключается только в том, что в данной модели вероятность выбрать из $i$-ой урны былый шар равна:
$p_i=C(m_1,...m_{k-1})/\ln^k(i)$, (13) что соответствует формуле (11). Значение $C(m_1,...m_{k-1})$ определяется по формуле (12).

Последовательность простых $k$-кортежей эквивалентна (в смысле равенства первых членов) последовательности натуральных значений $n$, при которых число $n$ является простым и все остальные числа кортежа также простые. Поэтому последовательность простых $k$-кортежей эквивалентна подпоследовательности простых чисел. Следовательно последовательность $(P_i)$ в данном случае является целочисленной, неотрицательной, строго возрастающей, поэтому принадлежит классу $K$ модели Крамера.

Также обозначим $I(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$. $I(x)$ - случайная величина.
Обозначим $I_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$-ой урны достается белый шар и 0, в противном случае.
Поэтому случайная величина $I(x)=\sum_{i=1}^{x} (I_i)$ -сумма независимых случайных величин.

[vicvolf]

Чтобы не путать модели переобозначим $J(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$. $J(x)$ - случайная величина.
Обозначим $J_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$-ой урны достается белый шар и 0, в противном случае.
Поэтому случайная величина $J(x)=\sum_{i=1}^{x} (J_i)$ -сумма независимых случайных величин.

Найдем характеристики шестой вероятностной модели для последовательности $k$-кортежей.

Математическое ожидание случайной величины $J(x)$ на основании формулы (35) равно:

$M(J(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(m_1,...m_{k-1})/\ln^k(i)}\approx C(m_1,...m_{k-1})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^k(t)} $, (14)

где $C(m_1,...m_{k-1})$ - определяется по формуле (12).

Обратите внимание, что количество простых $k$- кортежей в гипотезе Харди-Литлвуда определяется именно по формуле (14).

Дисперсия случайной величины $J(x)$ на основании формулы (36) равна:

$D(J(x))=\sum_{i = 2}^{x}{C(m_1,...m_{k-1})/\ln^k(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(C(m_1,..m_{k-1})^2/\ln^{2k}(i)) \approx $$ C(m_1,...m_{k-1})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^k(t)} -C(m_1,...m_{k-1})^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2k}(t)}$. (15)

Теперь о точности формул (14) и (15).

Ранее было доказано утверждение, что для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ при $A>1$ выполняется оценка:
$B<0,6202 F(k+1)$, (8) где $B=\lim_{n \to \infty}|\sum_{i=0}^{n} {F(A+i)}-\int_{A}^{n}{F(x)dx}|$.

Можно показать, что на основании данного утверждения ошибка в формуле (14) пренебрежимо мала. Аналогично в формуле (15).

Учитывая, что ряд $\sum_{i=2}^{\infty}{C(m_1,...m_{k-1})/\ln^k(i)}-\sum_{i=2}^{\infty}{C(m_1,...m_{k-1})^2/\ln^{2k}(i)}$ расходится, то на основании доказанного утверждения (сообщение от 18.02.2015) выполняется условия ЦПТ в форме Ляпунова.

Поэтому для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|J(x)-C(m_1,...m_{k-1})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^k(t)}|<$ $S\sqrt{C(m_1,...m_{k-1})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^k(t)} -C(m_1,...m_{k-1})^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2k}(t)}}) \approx F(S)$, (16)
где $F(S)$ - значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $S$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $S$, чтобы вероятность выполнения соотношения (16) была сколь угодно близка к 1.

[vicvolf]

Сопоставим разницу между количеством простых $k$-кортежей на интервале от 2 до $x$, определенного на основании гипотезы Харди-Литлвуда, и фактического количества простых $k$-кортежей с величиной среднеквадратичного отклонения, полученного по формуле (16): $\sqrt{C(m_1,...m_{k-1})\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^k(t)} - C(m_1,...m_{k-1})^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{2k}(t)}} $, (17) где $C(m_1,...m_{k-1})$ определяется по формуле (12).

Для примера рассмотрим простой кортеж $(p,p+4,p+6)$. Значение коэффициента, определенного по формуле (12), для данного кортежа равно: $C(4,6)=2,858248596...$.

Среднеквадратичное отклонение для данного простого кортежа определяется по формуле: $\sqrt{C(4,6)\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^3(t)} - C(4,6)^2\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^{6}(t)}} $. (18)

При $x=10^6$ фактическое количество данных простых кортежей равно $1444$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $1446$, разница - $2$, среднеквадратичное отклонение - $16$.

При $x=10^7$ фактическое количество данных простых кортежей равно $8677$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $8591$, разница - $-14$, среднеквадратичное отклонение - $38$.

При $x=10^8$ фактическое количество данных простых кортежей равно $55556$, рассчитанное на основании гипотезы Харди-Литлвуда - $55491$, разница - $-65$, среднеквадратичное отклонение - $93$.

Обратим внимание, что при $x=10^7, 10^8$ разница отрицательна, а при $x=10^6$ - положительна, что соответствует нормальному распределению вероятностей.
Также интересно небольшое отклонение количества простых кортежей, определенное на основании гипотезы Харди-Литлвуда, от фактического значения.
Данное отклонение не превосходит одно значение среднеквадратичного отклонения, определенного по формуле (18).