2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразования бистохастической матрицы
Сообщение10.03.2015, 06:58 


08/09/13
205
Бистохастической матрицей называется матрица размера $n \times n$ такая, что $a_{i j} \ge 0$, $\forall 1 \le i \le n: \sum \limits_{j=1}^{n} {a_{i j}} = 1$ и $\forall 1 \le j \le n: \sum \limits_{i=1}^{n} {a_{i j}} = 1$. Самым простым примером является матрица вида $a_{i i} = 1$ и $a_{i j} = 0$ ($i \not = j$).
Для любого набора индексов $i_1 \not = i_2,  j_1 \not = j_2$ и $\varepsilon > 0$ после преобразований вида
$a_{i_1 j_1} = a_{i_1 j_1} - \varepsilon$
$a_{i_1 j_2} = a_{i_1 j_2} + \varepsilon$
$a_{i_2 j_1} = a_{i_2 j_1} + \varepsilon$
$a_{i_2 j_2} = a_{i_2 j_2} - \varepsilon$
матрица остаётся бистохастической если никакие элементы не вылезают за границы $(0;1)$. Здесь мы выбираем декартов прямоугольник и как бы сдвигаем величину $\varepsilon$ в одну сторону по этому прямоугольнику.

Вопрос: можно ли с помощью указанных выше преобразований получить из единичной любую бистохастическую матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования бистохастической матрицы
Сообщение10.03.2015, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Проблема только в том, чтобы показать, можно ли череду преобразований, промежуточные результаты которой выходят за рамки $a_{ij}\geqslant0$, преобразовать в череду, промежуточные результаты которой хорошие. Так-то можно любую матрицу преобразовать в матрицу с нулями везде кроме одной строки и столбца (элементами которых будут единицы и $2-n$ на пересечении), так что «некрасивое» преобразование из единичной матрицы в любую другую бистохастическую есть.

Элементарные преобразования коммутируют, также преобразование на $\varepsilon_1+\varepsilon_2$ можно разделить на отдельные преобразования на $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$. От этого, наверно, и стоит плясать: когда преобразование делает отрицательные элементы, расщепить его на два, первое из которых доводит те элементы до нулей, а второе надо сделать позже. Всегда ли это возможно — простой идеи пока не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразования бистохастической матрицы
Сообщение10.03.2015, 21:41 


09/02/15
37
Найдем среди элементов первых строки и столбца (кроме $a_{11}$) минимальный отличный от нуля. Пусть это $a_{1k}$.

Тогда существует $j \ne 1$, такое что $a_{j1} \geqslant a_{1k}$. При этом $1 - a_{jk} = \sum\limits_{l \ne k}a_{lk} \geqslant a_{1k}$, поэтому можно применить ваше преобразование с индексами $1 \ne j, 1 \ne k$ и $\varepsilon = a_{1k}$, тем самым получив матрицу, в которой $a_{1k} = 0$.

Процесс можно продолжать, пока в 1-й строке и столбце не будут одни нули. После этого переходим ко 2-й строке и столбцу и т.д.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group