Интерференция

[Alex-Yu]

amon в сообщении #988220 писал(а):

Поэтому фотоны после щели, вообще говоря, другие, не такие как перед щелью монохроматора.

Более того, это вообще уже, строго говоря, не фотоны. А суперпозиция состояний с разным числом фотонов. Фотон может и "потеряться" при прохождении щели, причем это когеррентный процесс.

Вообще такая условная наглядная картина, когда квантовое поле --- это нечто, что может быть в разных состояниях, причем одни состояния соответствуют частицам, а другие --- волнам, и они могут друг в друга превращаться, куда менее контринтуитивна, чем частицы, которые одновременно (!) волны. Как пишут в учебниках общей физики Ну что это такое: частица, она же (!) волна! Впрочем, эта картина все равно не вполне соответствует тому, что на самом деле. Что на самом деле можно понять ТОЛЬКО через математику.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #988229 писал(а):

Более того, это вообще уже, строго говоря, не фотоны.

Я за дискуссией с интересом слежу. Вопрос, мне кажется, отчасти филологический - "что такое фотон" и "что такое классическое ЭМ поле" с точки зрения КЭД. Чуть позже может подключусь. Пока предварительно. IMHO, до монохроматора и после него операторы поля удобно раскладывать по разным решениям классических уравнений. Тогда "один фотон на входе" выдаст "много фотонов на выходе", причем других.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #988233 писал(а):

Тогда "один фотон на входе" выдаст "много фотонов на выходе", причем других.

Нет, такого не получится. Один фотон на входе даст на выходе суперпозицию одного фотона и ни одного фотона (вакуума). И причем это никак не сколько-то там фотонов. Это именно суперпозиция.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #988241 писал(а):

Один фотон на входе даст на выходе суперпозицию одного фотона и ни одного фотона (вакуума)

Ну, давайте определяться кто что понимает под фотоном. Что бы слезть с филологии предлагаю рассмотреть простую модель. Есть вещественное скалярное поле в пространстве 1+2 (не релятивистское для простоты). Классическое уравнение движения - $\partial_\mu\partial^\mu\varphi=0$ (двумерное волновое уравнение). Для этого поля рассматривается такая задача: пространство поделено на две части непроницаемой бесконечной стенкой $y=0$. Условие на стенке $\varphi(x,y=0)=0$. В стенке прорезана дырка от $y= -1$ до 1.

Тут, вроде, все точно решается, и можно определиться с терминологией. Начну со своей. Данная задача имеет квадратичный по полям лагранжиан, поэтому все квантовые поля свободные, и проквантовать систему можно точно. Пусть $\varphi_\lambda$ - полный набор решений классического уравнения $\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\Delta\varphi=0$ с учетом граничных условий ($\lambda$ как-то нумерует решения). В качестве такого набора можно взять решения классической задачи рассеяния на дырке, и тогда оператор поля запишется как $\hat{\Psi}(x)=\int d\mu(\lambda)a_\lambda \varphi_\lambda(x)$ ($d\mu(\lambda)$ - "плотность состояний"). Тогда $a_\lambda^+$ будет оператором рождения "состояния рассеяния". Вопрос: в Вашей терминологии это фотон или нет?

Теперь, что я понимал под "разными фотонами". Пусть мы классическую задачу решать разучились. Тогда я могу применить к решению задачи о рассеянии на дырке "метод туннельного гамильтониана". Заткнем дырку. Слева (откуда волна на дырку падает) я напишу разложение оператора поля по плоским волнам и синусу (фотоны за стенкой, $a$-операторы), а справа - наоборот, оставлю только решения от дырки в стенке ($b$-операторы). Гамильтониан системы можно (для слабого туннелирования) приближенно записать как $\sum\limits_{k}\omega_k a^+_k a_k+\sum\limits_{m}\omega_m b^+_mb_m+\sum\limits_{k,m}(t_{km}a^+_k b_m+t_{mk}^*b^+_m a_k)$. В таком приближении будет что-то похожее на то, что я сказал (только похожее).

Не могли бы Вы на этой же задачке показать суперпозицию фотона и вакуума. Если эта модель не подходит, то что в ней надо изменить и как.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #988320 писал(а):

Вопрос: в Вашей терминологии это фотон или нет?

В моей терминологии фотон --- это то, что получится в результате действия оператора рождения на вакуум. Т.е. состояние, а не оператор.

-- Ср мар 11, 2015 01:31:47 --

amon в сообщении #988320 писал(а):

Гамильтониан системы можно (для слабого туннелирования) приближенно записать как $\sum\limits_{k}\omega_k a^+_k a_k+\sum\limits_{m}\omega_m b^+_mb_m+\sum\limits_{k,m}(t_{km}a^+_k b_m+t_{mk}^*b^+_m a_k)$. В таком приближении будет что-то похожее на то, что я сказал (только похожее).

ИМХО как раз и не будет. Во-первых давайте договоримся: фотоны, порождаемые $a^+$ --- это исходные фотоны, $b^+$ -- результирующие. Чтобы не таскать нулевые гамильтонианы, переходим в представление взаимодействия. Тогда гамильтониан $V=t_{km}a^+_k b_m+t_{mk}^*b^+_m a_k$. Исходное состояние это $| in \rangle =a^+| vac \rangle$. По теории возмущений результирующее состояние это $| out \rangle = V | in \rangle$. Исходные и результирующие фотоны в разных местах, следовательно a-операторы и b-операторы коммутируют. Подставляем, коммутируем и получаем в точности то, что я сказал. Первое слагаемое $V$ даст вакуум, второе --- один "b-фотон".

Впрочем, здесь еще будет аналогичная комбинация вакуума и "a-фотона". Но нас интересуют только "b-фотоны ". И вообще, я рассматривал поглощающую, а не отражающую стенку (с дыркой). И, надеюсь, Вы мне простите лень писать множители,суммы и интегралы. И без них понятно.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #988342 писал(а):

Вы мне простите лень писать множители,суммы и интегралы. И без них понятно.

О чем речь! Я сам такой.

Alex-Yu в сообщении #988342 писал(а):

В моей терминологии фотон --- это то, что получится в результате действия оператора рождения на вакуум. Т.е. состояние, а не оператор.

Это как раз к предыдущему. Я пропустил несколько фраз для скорости. Попробую пояснить что имелось в виду. Обычно под оператором рождения состояния $\lambda$ понимают оператор $a_\lambda^+$ в разложении (в нашем случае, вещественного скалярного поля) $\Psi^+(x)=\sum\limits_{\lambda}a_\lambda^+\varphi_\lambda(x)$. При этом принято говорить, что состояние $a_\lambda^+|0\rangle$ - 'это состояние с одним $\lambda$-"фотоном". Я хотел только обратить внимание на то, что можно придумывать разные фотоны. Если свободное уравнение имеет другой набор решений $f_\alpha$, такой, что $\varphi_\lambda=A_{\lambda\alpha}f_\alpha$, то возникнут новые "фотоны", связанные со старыми соотношением $b_\alpha=A_{\lambda\alpha}a_\lambda$. Вакуум не изменится, а $a$ и $b$ - операторы будут унитарно эквивалентны. Это я к тому, что один фотон в одном представлении даст много фотонов в другом, и когда говорят, что что-то есть какая-то простая комбинация, то не худо указать, в каком представлении (какой фотон используется).

Alex-Yu в сообщении #988342 писал(а):

я рассматривал поглощающую, а не отражающую стенку

Для такой стенки только фотонный гамильтониан не самосопряженный, и простую модель не нарисовать, а для отражающей - пожалуйста.

Alex-Yu в сообщении #988342 писал(а):

ИМХО как раз и не будет. Во-первых давайте договоримся: фотоны, порождаемые $a^+$ --- это исходные фотоны,

Давайте договоримся теперь, какую задачу мы решаем. Я думаю - задачу рассеяния. Но ее я готов обсуждать по-позже. До меня Ваше утверждение про один фотон (после уточнений кто что под этим понимал) начинает доходить. Так что давайте продолжим когда минутка появится.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #988538 писал(а):

Это как раз к предыдущему. Я пропустил несколько фраз для скорости. Попробую пояснить что имелось в виду. Обычно под оператором рождения состояния $\lambda$ понимают оператор $a_\lambda^+$ в разложении (в нашем случае, вещественного скалярного поля) $\Psi^+(x)=\sum\limits_{\lambda}a_\lambda^+\varphi_\lambda(x)$. При этом принято говорить, что состояние $a_\lambda^+|0\rangle$ - 'это состояние с одним $\lambda$-"фотоном". Я хотел только обратить внимание на то, что можно придумывать разные фотоны. Если свободное уравнение имеет другой набор решений $f_\alpha$, такой, что $\varphi_\lambda=A_{\lambda\alpha}f_\alpha$, то возникнут новые "фотоны", связанные со старыми соотношением $b_\alpha=A_{\lambda\alpha}a_\lambda$. Вакуум не изменится, а $a$ и $b$ - операторы будут унитарно эквивалентны. Это я к тому, что один фотон в одном представлении даст много фотонов в другом, и когда говорят, что что-то есть какая-то простая комбинация, то не худо указать, в каком представлении (какой фотон используется).

Да, все так, конечно. Я, кстати, несколько наврал в спешке. Сейчас исправлю.

Так вот. Исходное состояние --- это $| in \rangle = a^+| vac \rangle$. Заметим, что это ничто иное, как вакуум $b$-частиц. Под действием $V$ это состояние перейдет в $| out \rangle = (1 + iV)| in \rangle$. Первое слагаемое $V$ даст просто ноль (там $b$ можно перетащить до вакуума). Второе -- даст (с точностью до коэффициента) $b^+| vac \rangle$. В общем получится линейная комбинация $a^+| vac \rangle$ и $b^+| vac \rangle$. Первое слагаемое по $b$-частицам это вакуум, второе --- одночастичное. Получится линейная комбинация вакуума и одночастиччного состояния (за стенкой, про то, что до стенки, мы забываем).


А вообще эта задача решается и без теории возмущений. Гамильтонианы, квадратичные по бозе-операторам всегда диаганализуются. И сразу ясно, что в итоге будет линейная комбинация состояний "частица до стенки" и "частица после стенки". Гамильтониан вообще сохраняет общее число частиц. Сразу видно. Но, рассматривая только то, что после стенки, мы состояние "частица до стенки" должны считать вакуумом.