об одной инженерной задаче

[Oleg Zubelevich]

Твердое тело состоит из стержня $AB$ и жестко прикрепленной к нему объемной фигуры (серая блямба на рисунке). Концы стержня установлены в подшипники $A$ и $B$; твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси $AB$. Найти реакции $\overline F,\overline R$ в подшипниках . Трения нет. По условию реакции $\overline F,\overline R$ перпендикулярны стержню, силой тяжести пренебрегаем. Масса твердого тела и распределение масс известны.

В инженерных курсах механики эта задача (точнее ее частные случаи) решается обычно с помощью сил инерции, что длинно и не очень приятно.
В действительности задача решается в одно действие.

Записываем теорему об изменении кинетического момента относительно точки $A$:

$$[\overline \omega,J_A\overline \omega]=[\overline {AB},\overline R];$$

($J_A$ -- оператор инерции твердого тела в точке $A$)
откуда находим:

$$\overline R=-\frac{[\overline{AB},[\overline \omega,J_A\overline \omega]]}{|AB|^2}.$$

В частности видно, что если $AB$ является главной осью оператора инерции то $\overline R=0$.



Записывая теорему об изменении кинетическго момента относительно точки $B$ получаем реакцию $\overline F$.