Норма и модуль

[ИСН]

Ну да, можно так сказать. Функция от функций.

[provincialka]

Вот я и говорю, что вы путаете функцию и ее значение.

provincialka в сообщении #987158 писал(а):

Для функции модуль, то есть $|f(x)|$ и норма, то есть $||f(x)||$ -- совершенно разные понятия: первое -- функция, второе -- число.

Здесь $||\cdot ||$ -- функция, вернее, функционал (применяемый к функциям). Но $||f(x)||$, а точнее, $||f||$ -- его значение, то есть число (при фиксированной $f$, конечно).

[21begun]

Я запутался . Ладно, не буду тратить ваше время, скорей всего, это бесполезно. Со временем пойму, надеюсь .

[AV_77]

Модуль $| \cdot |$ это функция, аргумент которой является некоторым числом и значение которой также является некоторым числом. Норма $\| \cdot \|$ - это функция, аргументом которой является функция, а значением --- некоторое число.

Так, $|x|$ --- функция, зависящая от $x$ и принимающая вместе с $x$ различные значения. А если норму определить как $\| f \| = \max_{x \in [-1, 1]} |f(x)|$, то $\| x \| = 1$.

[ex-math]

AV_77 в сообщении #987324 писал(а):

функция, аргументом которой является функция

Это скорее запутает ТС, так как нормы бывают не только на функциональных пространствах. Тем более, что он встречался, НЯП, только с нормой в $\mathbb{R}^n$.

[arseniiv]

Все говорят о путанице функции и её значения, но конкретного примера не было вру. Всё равно лишний конкретный пример не повредит:

$84\in\mathbb R$ — число.
$|\cdot|\colon \mathbb R\to\mathbb R$ — функция. Применим вторую к первому.
$|84| = 84 \in\mathbb R$ — число.

$(1,-2,3)\in\mathbb R^3$ — вектор, или же тут могла бы быть функция, число или что-то ещё страшное, у чего бывает норма.
$\lVert \cdot\rVert\colon \mathbb R^3\to\mathbb R$ — функция. Применим вторую к первому.
$\lVert (1;-2;3)\rVert = \sqrt{13}\in\mathbb R$ — число.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #987189 писал(а):

Здесь $||\cdot ||$ --

вообще-то "||" не бывает, не потакайте дурным наклонностям

[provincialka]

ewert

(Оффтоп)

Не буду потакать Уже посмотрела, как надо.

[grizzly]

Я тогда тоже задам пару вопросов. В контексте обсуждения: можно (и нужно) ли говорить, что, например, функция $|\sin(x)|$ есть суперпозиция двух функций -- синуса и модуля?(?)

[arseniiv]

Почему нет? Правда, в обычном порядке она, скорее, модуля и синуса.

[ewert]

grizzly в сообщении #987575 писал(а):

можно (и нужно) ли говорить,

Можно. А вот нужно ли -- у нас свободная страна. И даже Следственный комитет вряд ли в силах запретить Вам выбрать какой-либо другой термин, или даже выдумать свой.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #987577 писал(а):

Правда, в обычном порядке она, скорее, модуля и синуса.

Искренне удивлён. Всегда считал, что запись $f\circ g$ читается как "суперпозиция функций $g$ и $f.$" А то как-то не по-русски получается.

[ewert]

grizzly в сообщении #987582 писал(а):

Всегда считал, что запись $f\circ g$ читается как "суперпозиция функций $g$ и $f.$"

Вредно так считать. Такая словесная формулировка заведомо двусмысленна и всегда (без уточнений) чревата недоразумениями. Независимо ни от каких априорных договорённостей. Ну не будет это на практике работать, о чём ни договорись.

[grizzly]

ewert
Я понял, спасибо. (Про "можно и нужно ли" я тоже не разрешения спрашивал , а в плане методической полезности / целесообразности -- как в примере с данным конкретным ТС.)

[ewert]

grizzly в сообщении #987589 писал(а):

а в плане методической полезности

А вот в этом же ровно плане:

$\int\limits_0^1dx\int\limits_0^1f(x,y)\,dy$

Который из интегралов здесь первый, а который -- второй?...

Абсолютно вредная терминология, как её ни вводи. И с суперпозицией -- ровно так же.