Вопрос по Ленгу

[Nurzery[Rhymes]]

У Ленга есть понятие - алгебраически независимое множество, такое множество элементов, которые при подстановке в любой многочлен расширения поля не обращают его в нуль. Помогите уточнить, имеется в виду это, или трансцендентность?
Это понятие у меня вводится для определение степени трансцендентности и размерности алгебраического многообразия.

[AV_77]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987328 писал(а):

Помогите уточнить, имеется в виду это, или трансцендентность?

Какое "это"? Вот есть поле $\mathbb{Q}$ рациональных чисел. Есть число $\pi$. Оно трансцендентно над $\mathbb{Q}$. Есть число $\pi^2$. Оно также трансцендентно над $\mathbb{Q}$. Но числа $\pi$ и $\pi^2$ алгебраически зависимы над $\mathbb{Q}$.

PS Как ваш вопрос связан с темой обсуждения?

[Nurzery[Rhymes]]

Выше предложили перевод algebraically independent element ---> трансцендентный элемент, а у ленга множество алгебраически независимых элементов определяется как множество элементов, которые при подстановке в любой многочлен многих переменных не обращают его в нуль. Вот я и спрашиваю, переводить algebraically independent как "трансцендентный элемент" или дать громоздкое определение Ленга?
Не вижу особенной разницы между этими двумя понятиями. Они оба говорят об элементах, которые не являются корнями произвольного многочлена с коэффициентами из поля.

-- 08.03.2015, 13:06 --

AV_77 в сообщении #987339 писал(а):

Но числа $\pi$ и $\pi^2$ алгебраически зависимы над $\mathbb{Q}$.

А почему?

[Deggial]

Тема выделена

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987352 писал(а):

AV_77 в сообщении #987339 писал(а):

Но числа $\pi$ и $\pi^2$ алгебраически зависимы над $\mathbb{Q}$.

А почему?

Очевидно же.

[NSKuber]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987352 писал(а):

А почему?

Осмелюсь предположить: потому что подстановка $\pi$ и $\pi^2$ в многочлен $x^2 - y$ (многочлен над $\mathbb{Q}$) обращает его в нуль.

[Nurzery[Rhymes]]

NSKuber в сообщении #987360 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987352 писал(а):

А почему?

Осмелюсь предположить: потому что подстановка $\pi$ и $\pi^2$ в многочлен $x^2 - y$ (многочлен над $\mathbb{Q}$) обращает его в нуль.

Да, точно... Я что-то неправильные многочлены сначала подбирал.

[AV_77]

Говорить об алгебраической зависимости и о трансцендентности можно только с привязкой к основному полю (или кольцу). Уже упоминавшееся ранее число $\pi$ трансцендентно над $\mathbb{Q}$, но алгебраическое над $\mathbb{R}$. Аналогично и с алгебраической независимостью. Если $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ алгебраически независимы над полем $P$, то $\alpha_n$ трансцендентен над полем $P(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})$. Алгебраическая независимость более сильное понятие, чем трансцендентность.