Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?

[Deggial]

aa_dav в сообщении #986463 писал(а):

то мы же требуем построить именно такое число.

Мы ничего не требуем. Мы просто строим.
Противоречие в методе доказательства от противного не обязательно делать именно таким. Противоречие может быть любым.

[odelschwank]

aa_dav в сообщении #986451 писал(а):

odelschwank в сообщении #986446 писал(а):

Если вы внимательно посмотрите доказательство теоремы про несчетность отрезка, то заметите, что там всего одна табличка, в которой пронумерованы все действительные числа.

Я знаю, что "для любого $N$" эквивалентно "для всех рассматриваемых чисел".

Вы не понимаете разницы между фразами "для любого $N$ существует нечетное число, которого нет в $N$-й табличке" и "существует нечетное число, которое не совпадает с $N$-м числом (одной и той же) таблицы для любого $N$"?

Если бы вы в своем "доказательстве" построили одну табличку, в которой были бы пронумерованы все нечетные числа, и потом построили какое-то, которого в ней нет - вы получили бы противоречие и это действительно было бы доказательство.

Вы же строите кучу конечных табличек и для каждой из них строите число, которого в табличке нет. И что это доказывает? В лучшем случае, что множество нечетных чисел бесконечно.

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986466 писал(а):

Мы строим число, которого нет в нашей таблице.

Ну мы пробовали это делать с натуральными - срабатывал пункт (б).

ИСН в сообщении #986466 писал(а):

И вот мы его построили!

Вы точно уверены что вы смогли построить число не равное самому себе?

-- 06.03.2015, 16:20 --

Deggial в сообщении #986468 писал(а):

Противоречие в методе доказательства от противного не обязательно делать именно таким. Противоречие может быть любым.

Но почему когда мы рассматривали натуральные противоречие привело нас к другим выводам тогда?

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986472 писал(а):

Ну мы пробовали это делать с натуральными - срабатывал пункт (б).

Верно: с натуральными, получалось число, которого нет. Но здесь получается такое, которое есть. Значит, срабатывает какой-то другой пункт. Какой бы это мог быть...

aa_dav в сообщении #986472 писал(а):

Вы точно уверены что вы смогли построить число не равное самому себе?

Уверен в обратном. Конечно, оно равно самому себе, как и всякое число.

[aa_dav]

Тут ведь еще как... процедура построения - бесконечная. А это серьезный подвох тоже. Кажется претензии к этой части назывались "доказательство неконструктивно". Но ладно, меня не это интересует, а скорее то, что ни одного такого числа "по факту" предъявить никто не может, поэтому как бы тоже этот конец подвисает в неопределенности.

-- 06.03.2015, 16:23 --

ИСН в сообщении #986477 писал(а):

Но здесь получается такое, которое есть.

А как вы это доказали?
Я согласен с тем, что в отличие от натуральных мы не можем сразу же придумать доказательства, доказывающего несуществование такого числа.
Но это в свою очередь не значит, что мы доказали его наличие.

[Deggial]

IMHO, ТС просто не понимает метод от противного.
aa_dav, давайте Ваши рассуждения переведём на доказательство бесконечности простых, понятное даже пятиклассникам, а то тема циклится. А в случае зацикливания я её закрою. Вам понятно это доказательство?

aa_dav в сообщении #986478 писал(а):

процедура построения - бесконечная.

конечная.
Точнее говоря, процедуры нет, есть описание. Оно конечно.

aa_dav в сообщении #986478 писал(а):

ни одного такого числа "по факту" предъявить никто не может

Вы опять забыли о том, что доказательство строится от противного.

aa_dav в сообщении #986472 писал(а):

Но почему когда мы рассматривали натуральные противоречие привело нас к другим выводам тогда?

В примере с натуральными числами противоречие не было получено.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986478 писал(а):

Кажется претензии к этой части назывались "доказательство неконструктивно". Но ладно, меня не это интересует, а скорее то, что ни одного такого числа "по факту" предъявить никто не может, поэтому как бы тоже этот конец подвисает в неопределенности.

Доказательство конструктивно: мы получили число, вот оно есть. Что значит "предъявить никто не может"? Выписать его все знаки никто не может? Ну дак это верно для любого действительного числа. Их тоже теперь "нет", что ли?

-- менее минуты назад --

aa_dav в сообщении #986478 писал(а):

Но это в свою очередь не значит, что мы доказали его наличие.

Каждая последовательность цифр означает какое-то действительное число. У нас есть последовательность цифр. Что с ней может быть не так, чтобы она не означала действительное число?

[atlakatl]

aa_dav в сообщении #986411 писал(а):

Строим табличку в которой выписаны нечетные от 1 до $N$, замечаем что можно выписать нечетное первая цифра которого не равна первой цифре первого (но делится на 2!), вторая цифра не равна второй цифре второго и т.д.

Поясните на примере. "Первая цифра", "делится на 2!" - понятия здесь не совсем понятные.
Итак, есть ряд $1, 3, 5, 7, 9, 11, ...$ Что дальше?

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986480 писал(а):

Что значит "предъявить никто не может"? Выписать его все знаки никто не может?

Нет, просто момент когда вы вступите в противоречие "задвинут в бесконечность", поэтому вы его не ощущаете.
Рассмотрите такую процедуру, неконструктивную, извлекаем из отрезка $(0;1)$ число (вычёркивая его оттуда) и начинаете всё так же строить известную процедуру, пока не исчерпаете отрезок. Да, тут у нас аксиома выбора затесалась и еще можно апеллировать к неисчерпаемостям, но. Но. Фраза "число из отрезка $(0;1)$ не равное любому числу из этого отрезка" суть - то же самое.

-- 06.03.2015, 16:38 --

atlakatl в сообщении #986483 писал(а):

Поясните на примере. "Первая цифра", "делится на 2!" - понятия здесь не совсем понятные.

Тут честно тупанул - имелось ввиду не делится на 2, т.к. рассматриваем нечетные. Далее если непонятны рассуждения, то наверное есть смысл почитать изначальную тему, там на второй странице приводится пример книжного доказательства, от которого идёт отталкивание.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986484 писал(а):

Рассмотрите такую процедуру, неконструктивную, извлекаем из отрезка $(0;1)$ число (вычёркивая его оттуда) и начинаете всё так же строить известную процедуру, пока не исчерпаете отрезок.

Раньше, чем я исчерпаю отрезок, мне некуда будет девать цифры. Чисел в отрезке "больше", чем мест для цифр в действительном числе.

[aa_dav]

Deggial в сообщении #986479 писал(а):

IMHO, ТС просто не понимает метод от противного.

Вопрос тут по видимому в том, что можем ли мы продолжать доказательство от обратного, если предположение о противном вычёркивает из реальности инструмент доказательства.
Так, надо бы правда более внятный пример придумать, брадобрей похож, но кажется что-то не то...

-- 06.03.2015, 16:48 --

ИСН в сообщении #986494 писал(а):

Раньше, чем я исчерпаю отрезок, мне некуда будет девать цифры.

Да, но это вы узнаете только когда докажете неисчислимость вещественных. А с другой стороны формулировка "не равное самому себе" не испытывает этих трудностей.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986495 писал(а):

можем ли мы продолжать доказательство от обратного, если предположение о противном вычёркивает из реальности инструмент доказательства.

Так всегда бывает. Я ещё раз осмелюсь спросить, встречались ли Вы ранее с доказательствами от противного? Там всегда возникает какая-то невозможная ситуация, вроде этой.

-- менее минуты назад --

aa_dav в сообщении #986495 писал(а):

Да, но это вы узнаете только когда докажете неисчислимость вещественных.

Ну дак мы её доказали. Ваши претензии ведь исчерпаны? Нет? Тогда давайте к ним вернёмся.

-- менее минуты назад --

aa_dav в сообщении #986495 писал(а):

А с другой стороны формулировка "не равное самому себе" не испытывает этих трудностей.

Она испытывает гораздо более тяжёлые трудности с другими вопросами.

[atlakatl]

aa_dav в сообщении #986484 писал(а):

есть смысл почитать изначальную тему

Почитал. Есть ряд: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...$ Строим не встречающееся в нём число, отличающееся от первого числа ряда первой цифрой (справа) - $2$, от второго второй цифрой - $1$, от третьего третьей цифрой - 1, и т.д. Можно не мудрить, и просто выписать число $... 11111111111111111112111111112$. Беда, что оно бесконечно велико, - т.е. не относится к множеству $N$. - Т.е. никакого противоречия мы не получили.

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986494 писал(а):

Раньше, чем я исчерпаю отрезок, мне некуда будет девать цифры.

И, кстати, это же просто еще одна форма доказательства, что такого числа нет.

-- 06.03.2015, 16:58 --

atlakatl в сообщении #986499 писал(а):

Беда, что оно бесконечно велико, - т.е. не относится к множеству $N$. - Т.е. никакого противоречия мы не получили.

Теперь пожалуйства внимательно прочитайте первый пост в этой теме. Весь.

[Dan B-Yallay]

Вероятно ТС устроит такая "переформулировка":
Не существует иньекции $\mathbb N \to (0,1)$ являющейся биекцией. Поэтому последнее несчетно.