Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?

[Deggial]

aa_dav в сообщении #986432 писал(а):

модератор мне подсказал правильный путь.

Да, только не забывайте все формулы и термы $\TeX$ом оформлять, и капслок по-прежнему запрещён. Устное замечание.
И пост AGu Вам тоже поможет.

aa_dav в сообщении #986421 писал(а):

Вот я и спрашиваю - ЧТО НЕ ТАК?

Последовательности $a_n$ всегда соответствует действительное число $\alpha = \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k 10^{-k}$, а натуральное число $m=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k 10^{k}$ существует лишь тогда, когда $a_k=0$ для всех $k$ начиная с некоторого номера.

[aa_dav]

provincialka в сообщении #986433 писал(а):

Автор имеет в виду, что в теореме о несчетности действительных аналогичная ошибка.

Не ошибка, а скорее недоделка. Просто вариант с несуществованием такого числа был никак не анализировался.

-- 06.03.2015, 15:38 --

Deggial в сообщении #986435 писал(а):

Последовательности $a_n$ всегда соответствует действительное число $\alpha = \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k 10^{-k}$

Вопрос не в этом. Вопрос в том попадает ли под определение вещественного числа такое, которое существует на отрезке $(0;1)$, но не равно любому числу на этом отрезке?

[Deggial]

aa_dav в сообщении #986436 писал(а):

Вопрос в том попадает ли под определение вещественного числа такое, которое существует на отрезке $(0;1)$, но не равно любому числу на этом отрезке?

Подпадает и не подпадает (любое высказывание о том, обладает ли каким-то свойством не существующий объект, истинно и ложно). Вспоминайте, что несчётность $\mathbb{R}$ доказывается от противного.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986434 писал(а):

Своими словами - потенциально бесконечная дробь. На вики лазить лень, но заочно по этому мнению я не расхожусь с общепринятыми дефинициями.

Так нет же, расходитесь, и именно в этом моменте. Другие люди (часть из них) под действительными числами понимают не то, что Вы, так что и нечего удивляться, что Ваши доказательства не работают для них, и наоборот.

-- менее минуты назад --

Возможно, Вы стихийный конструктивист.

-- менее минуты назад --

Или возможно, что слово "потенциально" у Вас стояло просто для красоты, не означая ничего; тогда другое дело.

[aa_dav]

Deggial в сообщении #986440 писал(а):

Подпадает и не подпадает (любое высказывание о том, обладает ли каким-то свойством не существующий объект, истинно и ложно).

Но реальным он от этого не становится.

Deggial в сообщении #986440 писал(а):

Вспоминайте, что несчётность $\mathbb{R}$ доказывается от противного.

Именно в этом и состоит центральная мысль первопоста - если мы допустили, что отрезок перечислен, то требование найти в таблице число не равное любому из таблицы превращается в требование найти число не равное самому себе. Это не может быть использовано в качестве доказательства.

[odelschwank]

aa_dav в сообщении #986436 писал(а):

provincialka в сообщении #986433 писал(а):

Автор имеет в виду, что в теореме о несчетности действительных аналогичная ошибка.

Не ошибка, а скорее недоделка. Просто вариант с несуществованием такого числа был никак не анализировался.

Ваше "доказательство" несчетности нечетных не очень похоже на то, что в теореме о несчетности действительных.

Вы например зачем-то строите "табличку в которой выписаны нечетные от 1 до $N$" - зачем? Ясно что в такой (конечной) табличке будут не все нечетные числа. Если вы внимательно посмотрите доказательство теоремы про несчетность отрезка, то заметите, что там всего одна табличка, в которой пронумерованы все действительные числа.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986445 писал(а):

Именно в этом и состоит центральная мысль первопоста - если мы допустили, что отрезок перечислен, то требование найти в таблице число не равное любому из таблицы превращается в требование найти число не равное самому себе. Это не может быть использовано в качестве доказательства.

Вы когда-нибудь раньше, до бесконечностей, сталкивались с идеей доказательства от противного?

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986448 писал(а):

Вы когда-нибудь раньше, до бесконечностей, сталкивались с идеей доказательства от противного?

Проблема здесь не в том что возникает противоречие, проблема в том с чем это противоречие возникает. На самом деле возможны (или по другому - в теореме никак не обосновывается преимущество одного варианта перед другим) два варианта:
а) множество несчетно
б) такое число не существует

-- 06.03.2015, 15:59 --

odelschwank в сообщении #986446 писал(а):

Если вы внимательно посмотрите доказательство теоремы про несчетность отрезка, то заметите, что там всего одна табличка, в которой пронумерованы все действительные числа.

Я знаю, что "для любого $N$" эквивалентно "для всех рассматриваемых чисел".

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986451 писал(а):

На самом деле возможны (или по другому - в теореме никак не обосновывается преимущество одного варианта перед другим) два варианта:
а) множество несчетно
б) такое число не существует

Ну ОК, давайте так. Вот число. Как же это оно не существует? Мы же его построили, мы в нём знаем каждую цифру. Оно есть. Его не нет.

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986453 писал(а):

Ну ОК, давайте так. Вот число. Как же это оно не существует? Мы же его построили, мы в нём знаем каждую цифру. Оно есть. Его не нет.

Надо счётчик поставить сколько раз я уже копирую эту фразу:
Существует ли вещественное на отрезке $(0;1)$ не равное любому вещественному из этого отрезка?

[ИСН]

Нет, конечно. С чего бы вдруг?

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986457 писал(а):

Нет, конечно. С чего бы вдруг?

Тогда как мы можем требовать от доказательства построение такого числа?

[ИСН]

Какого?

[aa_dav]

Если мы предположили, что все числа на отрезке $(0;1)$ перечислены, то мы же требуем построить именно такое число.

[ИСН]

Которое не равно любому вещественному из отрезка? Но мы, строго говоря, требуем не этого. Мы строим число, которого нет в нашей таблице. И вот мы его построили! Значит что? Значит, в таблице не все числа, что на отрезке.