Эта задача справедлива как для прямолинейных отрезков, так и для криволинейных. Только требуются некоторые уточнения: нельзя проводить отрезок проходящий через какую-то из нарисованных точек; в криволинейном случае каждые две точки разрешается соединять только одним отрезком (иначе можно играть до бесконечности уже с двумя точками), а также нельзя соединять точку саму с собой.
Решение.
Случаи одной и двух точек очевидны, предположим, что нарисовано как минимум 3 точки.
Назовем
гранью область (в том числе неограниченную), границей которой являются проведенными игроками отрезками, внутри которой нет других отрезков. Понятно, что внутри грани не может быть нарисованных точек, так как в противном случае игра неокончена. Понятно также, что каждая грань представляет собой (прямолинейный или криволинейный) треугольник, так как в противном случае какие-то две из его вершин не будут соединены, и их можно соединить, то есть игра опять же неокончена.
Пусть

- число заданных точек,

- число проведенных игроками отрезков и

- число всех граней.
Криволинейный случай: Так как каждая грань ограничена тремя криволинейными отрезками, в то время как каждый отрезок является границей в точности двух граней, то

или

. Согласно эйлеровой характеристике плоскости, имеем:

, откуда следует, что

. Таким образом, первый игрок выигрывает, если

четно, и проигрывает, если

нечетно.
Прямолинейный случай: Рассмотрим выпуклую оболочку нарисованных точек. Понятно, что она состоит из отрезков, которые будут нарисованы при любой игре. Пусть

- число точек на границе выпуклой оболочки. Так как каждая грань, за исключением внешней для выпуклой оболочки, ограничена тремя отрезками, в то время как каждый отрезок является границей в точности двух граней, то

или

. Согласно эйлеровой характеристике плоскости, имеем:

, откуда следует, что

. Таким образом, первый игрок выигрывает, если

четно, и проигрывает, если

нечетно.