Решения дифференциального уравнения.

[Alexey1]

Скажите, зачем для доказательства теоремы Ляпунова о глобальной равномерной устойчивости нулевого решения (где бы решение не начиналось оно сходится к нулевому), сначала доказывается, что решения ограничены, то есть если u(t) есть решение, то доказывается, что u(t)<R для любого t.
Сама теорема выглядит так.
Пусть $V[t,x]$ функция Ляпунова и $a(||x||)\leqslant V[t,x]\leqslant\ b(||x||), {a(k) \to \infty}, {k \to \infty}$. Также существует положительно определённая функция $W[x]: \Lambda_R\to [0, \infty)$ такая что $V'[t,x]\leqslant -W[x], \forall x\in \Lambda_R, t \geqslant 0$. Где $\Lambda_R$ закрытый шар с радиусом $R$. Тогда нулевое решение является глобально равномерно ассимптотически устойчивым.

[V.V.]

Вероятно, все-таки не просто ограничены, а что нулевое решение равномерно устойчиво. А потом уже из условия $\dot{V}\leqslant -W$ доказывается, что всё ещё и к нулю стремится. По крайней мере, я такое доказательство в своей книге писал.

P.S. Вообще, если вопрос про доказательство, то логично было бы привести и его, а не только формулировку.

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

сначала доказывается, что решения ограничены, то есть если u(t) есть решение, то доказывается, что u(t)<R для любого t.

Это утверждение не является утверждением об ограниченности решения (см. определение ограниченной функции).

[V.V.]

Ну, поставьте по одной или по две палочки с каждой стороны от $u$. Понятно же, что имеется в виду.