сравнение производной с функцией

[egor20]

Есть монотонная и непрерывная функция от двух переменных. Дано,что она малая(меньше единицы в безраз. коорд.) всегда ли
производная от нее(по любой переменной) меньше, чем эта функция,ведь пренебрегают в ряде Тейлора производ. высоких порядков?

[svv]

Допустим, она монотонно возрастает. Так вот, если в некоторых местах она будет возрастать хоть и ненамного (чтобы оставаться малой), но зато очень-очень быстро, там производная будет очень велика.

egor20 в сообщении #985759 писал(а):

ведь пренебрегают в ряде Тейлора производ. высоких порядков?

Я этого не видел и отвечал только на вопрос — всегда ли?

[Dan B-Yallay]

egor20 в сообщении #985759 писал(а):

ведь пренебрегают в ряде Тейлора производ. высоких порядков?

Пренебрегают тогда, когда достаточно мал "хвост"

$$\sum\limits_{n=N}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

При этом необязательно $f^{(n)}(x_0) \to 0, \quad n \to \infty$

[Padawan]

egor20 в сообщении #985759 писал(а):

Есть монотонная и непрерывная функция от двух переменных.

А что такое монотонная функция от двух переменных?

[egor20]

Частные производные по первой и второй перем. только положительны или отрицательны.
Как я понял не всегда и поэтому надо допускать малость или большую величину производной по отношен. к функции, решать диффер.
уравнение и по его решению проверить допущение? Спасибо за помощь.

[VanD]

egor20 в сообщении #986092 писал(а):

Частные производные по первой и второй перем. только положительны или отрицательны.

Это-то ещё ничего не значит. Кроме того, что вдоль координатных осей функция возрастает, а Вы попробуйте производную по другому направлению - в общем случае из возрастания на осях не следует, что функция возрастает вдоль любых направлений (что и невозможно само по себе, но даже для направлений с положительными компонентами в данном базисе это может быть неверно). В общем, даже с локальными экстремумами тут история другая, хотя и является обобщением случая функции одной переменной, но не таким простым. А про использование терминологии "возрастание функции многих переменных", кроме случая, когда речь идёт о конкретном направлении, я никогда не слышал.

[grizzly]

Пробежка по гуглу показала, что нет единого общепринятого определения монотонности для функций многих переменных. Хотя есть некоторые классические (по Юнгу, например, как в этой статье). Но зачастую в статьях вводят нужное в рамках статьи определение и дальше уже отталкиваются от него.
На форуме тоже было обсуждение.

[egor20]

Я определил так монотонность из-за противоположности равенства нулю первых част. производных при экстремуме(необход.
условие) т.е. при немонотонности. Кстати функция может быть монот. в декар. коорд. и немонот. в полярных(например гипербола).
Что касается ,,....попробовать по другому направлению,, то у меня есть нелин. урав. с част. производными, а не функция и как
здесь это реализовать?

[VanD]

egor20 в сообщении #987500 писал(а):

Кстати функция может быть монот. в декар. коорд. и немонот. в полярных(например гипербола)

От этого производная по конкретному направлению не изменится. Изменится только разложение направления по базису, потому что в качестве базисных векторов касательного пространства в точке Вы перевыберете вектора скоростей новых координатных кривых при их равномерной (в смысле этой системы координат) параметризации.

egor20 в сообщении #987500 писал(а):

Что касается ,,....попробовать по другому направлению,, то у меня есть нелин. урав. с част. производными, а не функция и как
здесь это реализовать?

А надо ли? При оценке малости слагаемых монотонность в каком либо смысле использовать вроде не обязательно.