Сходимость по норме пространства C[-1, 1]

[HenryDukart]

Здравствуйте. Нужно найти предел последовательности $x_{\textit{n}}=(1+\frac{t}{n})^n$ по норме пространства $C[-1, 1]$, если он есть. Ясно, что при каждом фиксированном $t \in [-1, 1]$ последовательность сходится к $x_{\textit{0}}=e^t$

У меня возникла проблема при доказательстве равномерной сходимости, то есть по норма пространства $C[-1, 1]$. Не могу найти корни производной или доказать, что их нет на $[-1, 1]$. Смажорировать тоже не могу. Помогите, пожалуйста.

[ewert]

Просто выпишите первый ненулевой член формулы Тейлора для логарифма от этого выражения с оценкой остатка (только не в форме Пеано, а хоть чуть-чуть посильнее).

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986057 писал(а):

Просто выпишите первый ненулевой член формулы Тейлора для логарифма от этого выражения с оценкой остатка (только не в форме Пеано, а хоть чуть-чуть посильнее).

Логарифм от $(1+t/n)^n$?

[ewert]

Естественно. Такие выражения практически всегда напрашиваются на предварительное логарифмирование.

[HenryDukart]

ewert в сообщении #986063 писал(а):

Естественно. Такие выражения практически всегда напрашиваются на предварительное логарифмирование.

Я правильно вас понял?
$\ln(1+\frac{t}{n})^n=n*\ln(1+\frac{t}{n})=t-\frac{t^2}{n}+\frac{t^3}{3n^2}+....+(-1)^{k-1}\frac{t^k}{k*n^{k-1}}+R_{n+1}$?
И расписать остаток по формуле не Пеано. Куда это подставить?

Deggial: формулы исправьте: $\ln, a^{b+c}$

[ewert]

$\ln(1+x)=x+O(?)$. Этого более чем достаточно.

[HenryDukart]

Спасибо, теперь понял.

-- 05.03.2015, 19:33 --

Можно ли сказать, то из того, что сходятся ряд из логарифмов функций, то сходится и сам ряд функций и при этом предел ряда из логарифмов равен логарифму предела?

[HenryDukart]

Не понимаю, как это использовать тут логарифм. Помогите, пожалуйста.

[provincialka]

Сравните разность логарифмов $|\ln a - \ln b|$ с разностью их аргументов $|a-b|$. Например, через формулу конечных приращений Лагранжа.

[HenryDukart]

provincialka в сообщении #986145 писал(а):

Сравните разность логарифмов $|\ln a - \ln b|$ с разностью их аргументов $|a-b|$. Например, через формулу конечных приращений Лагранжа.

По совету eweret я представил эту разность логарифмов. Получил остаток в формуле Лагранжа $R_1$, не равный 0.

Вот формула конечных приращений: $\frac{\ln(a)-\ln(b)}{b-a}=\ln^{'}(c)$. Точку $c$ надо брать из отрезка $[(1+t/n)^n; e^t]$?

[provincialka]

HenryDukart в сообщении #986155 писал(а):

Точку $c$ надо брать из отрезка $[(1+t/n)^n; e^t]$?

Можно. Но лучше взять какой-нибудь постоянный отрезок, не зависящий от $t$ и $n$.

[HenryDukart]

provincialka в сообщении #986164 писал(а):

HenryDukart в сообщении #986155 писал(а):

Точку $c$ надо брать из отрезка $[(1+t/n)^n; e^t]$?

Можно. Но лучше взять какой-нибудь постоянный отрезок, не зависящий от $t$ и $n$.

В условиях теоремы же говорится, что на $[a, b]$. А какое соотношение должно получится? Мне кажется (я не могу доказать), что $\max|\ln a - \ln b| \leq \max| a - b|$

[provincialka]

Вам же надо наоборот. Вы доказали сходимость логарифма (то есть равномерную малость $\ln(f_n)-\ln(f)$). Теперь надо показать, что $f_n-f$ тоже равномерно мала. То есть оценить эту разность сверху.
Прикиньте, какие значения может принимать аргумент $y$ логарифма. Тогда коэффициент $(\ln y)' = \frac1y$ тоже можно оценить. Точнее, нам нужен коэффициент $\frac{1}{(\ln y)'}=y$ (подумайте, почему).

[ewert]

Не надо никаких извращений. Надо просто заменить выражение с "О-большим" для логарифма на двустороннее неравенство, соответствующее формальному определению этого "О-большого". После применения к этому неравенству экспоненты оно вполне себе сохранится, а как при этом пересчитаются константы -- совершенно неважно.

[HenryDukart]

Ну я могу сказать, что $y$ из $[(1+t/n)^n; e^t]$ точно больше 0. Но в зависимости от $t$, $[(1+t/n)^n; e^t]$ может включаться в $(\frac{1}{e}, 1]$ при [math]$t \in [-1, 0]$, а при $t \in [0, 1]$ в $[1, e]$.