Сопротивление сферического проводника

[saygogoplz]

Тут вот друг попросил вычислить сопротивление сферического однородного проводника. Я над ним усмехнулся... а потом впал в ступор...
Подключаем в цепь объемную сферу радиуса $r$ с однородным удельным сопротивлением $\rho$ за диаметрально противоположные точки, тогда

$$ R=2\rho/\!\pi\int_{0}^{r}\frac{dx}{r^2-x^2} $$

И как-то это дело, очевидно, расходится в $r$. Как это трактовать физически? Означает ли это, что ток пойдет по поверхности проводника или по "проводу" бесконечно малого сечения, соединяющего эти точки? Короч, запутался на ночь глядя . Подскажите.

[DimaM]

В вашей формуле считается, что вектор плотности тока везде параллелен линии, соединяющей точки подключения. Это неверно (и чем ближе к полюсам, где, собственно, расходимость интеграла, тем более неверно).

[Munin]

Вообще, подключать за точки нельзя, у точек бесконечно большое сопротивление. Подключайте за что-то по меньшей мере одномерное.

-- 04.03.2015 12:40:10 --

Ну и потом, придётся честно решить уравнение Лапласа, разумеется.

[Amw]

Munin в сообщении #985470 писал(а):

Подключайте за что-то по меньшей мере одномерное.

Одномерного тоже мало - надо конечную площадь.
Когда-то в детстве выводил формулу для сопротивления полой сферы между внутренней и внешней поверхностью. Когда радиус полости стремился к нулю - сопротивление стремилось к бесконечности.

[Balbes]

А попробуйте найти среднее между сопротивлением вписанного и описанного куба из того же металла.

[Евгений Машеров]

Расходится потому, что сопротивление обратно пропорционально площади сечения проводника, а у Вас принято, что точки подключения - именно точки, с нулевой площадью. Если Вы зададитесь более реалистичным подключением (ну, скажем, через площадки конечной площади; причём результат в основном будет зависеть от выбора величины площади контактов), то получите более реалистичный результат. Но грубый, потому, что у Вас принято, что эквипотенциальные поверхности - плоскости, перпендикулярные линии, соединяющей контакты. А они (кроме проходящей через центр - электротехник Жан Эвиданс) будут "выгнутые". Решение есть у Смайта, "Электростатика и электродинамика"
Вообще же основной вклад будет давать сопротивление в точках контакта. Это, с точки зрения практики, видно при расчёте заземлений. Их сопротивление зависит от площади проводников, свойств грунта, в меньшей степени от формы проводников и совершенно не зависит от сопротивления отдалённых частей земного шара.

[OlegCh]

DimaM в сообщении #985423 писал(а):

В вашей формуле считается, что вектор плотности тока везде параллелен линии, соединяющей точки подключения. Это неверно (и чем ближе к полюсам, где, собственно, расходимость интеграла, тем более неверно).

Почему это не верно? Для точки да, но суммарный вектор для любого сечения, перпендикулярного оси, параллелен этой оси.

P.s. надо усеченную сферу считать, тогда должно всё получиться.

[Евгений Машеров]

Но эти сечения не эквипотенциальны.

[saygogoplz]

Это все понятно, что надо считать от линии подключения, то есть там будет что-то конечное уже. Но вопрос остается. Разве на практике я не могу подключить при помощи очень тонкой проволочки? В теории которую я буду считать площадь ее точкой. Что действительно бесконечное получится сопротивление?

[Евгений Машеров]

Можете. Но тогда сопротивление цепи будет определяться в основном сопротивлением этой проволочки (или, если рассмотреть "тонкую серебряную проволочку", в смысле из материала с очень низким удельным сопротивлением, припаянную к шару из плохо проводящего материала, то сопротивлением участков шара в месте присоединения проводников). И если контакт имеет бесконечно малую площадь, сопротивление будет бесконечно большим.

-- 05 мар 2015, 16:14 --

$R=\rho \frac l S$

[OlegCh]

Евгений Машеров в сообщении #985993 писал(а):

Но эти сечения не эквипотенциальны.

Ну может быть, я не вдавался. Может тогда правильнее считать как параллельное соединение вложенных друг в друга полых сфер при стремлении толщины каждой сферы к 0?..

Скачал Смайта, сейчас гляну что у него...

[Евгений Машеров]

Ну вот давайте получим грубую оценку. Загрубление будет состоять в том, что эквипотенциальные поверхности полагаем плоскими. А для подключения возьмём напильник и спилим h миллиметров в точке подключения. Тогда
$R=\frac {2\rho}{\pi}\int_{0}^{r-h}\frac{dx}{r^2-x^2}=\frac {\rho} {\pi r}(\ln{(2r-h)}-\ln h)$
(вроде не ошибся в выкладках? Но проверьте, прошу Вас).
И видно, что результат в основном зависим от h.

[OlegCh]

Евгений Машеров в сообщении #986015 писал(а):

эквипотенциальные поверхности полагаем плоскими. А для подключения возьмём напильник и спилим h миллиметров в точке подключения

Ну да, я бы так и сделал. А у Смайта считаются потенциалы в шаре, а не его сопротивление, так что сравнить не с чем :)

[Евгений Машеров]

OlegCh в сообщении #986007 писал(а):

Может тогда правильнее считать как параллельное соединение вложенных друг в друга полых сфер при стремлении толщины каждой сферы к 0?..

Нет. Это совершенно неверно. Даже как грубое приближение. Не подключены "сферы" параллельно. Не равны потенциалы поверхностей сфер, всех внутренних поверхностей между собой и всех наружных между собой. Кстати, в рамках описанной модели, с "точечным подключением", сопротивление сферы будет бесконечным.

[Amw]

OlegCh в сообщении #986007 писал(а):

Может тогда правильнее считать как параллельное соединение вложенных друг в друга полых сфер при стремлении толщины каждой сферы к 0?..

Думаю, что это не пойдет...

Евгений Машеров в сообщении #986015 писал(а):

Загрубление будет состоять в том, что эквипотенциальные поверхности полагаем плоскими. А для подключения возьмём напильник и спилим h миллиметров в точке подключения.

А теперь попробовать разбить сферу на тонкие цилиндры и порезать их как колбасу...
Получится много тонких колечек - у каждого свой потенциал. Вот так будет правильно!!!
Но начальный контакт конечной площади всё равно нужен.