Покрытие рациональных чисел интервалами

[gris]

Есть покрытие всех рациональных чисел отрезка (с рациональными концами) интервалами, суммарная длина которых равна длине отрезка. Доказать, что нельзя выделить конечного подпокрытия. Идея: показать, что существует непокрытый отрезочек. Нельзя ли попроще и как-то пообщее. Пардон, туплю с утра

[ИСН]

Непокрытых промежутков нет потому, что на каждом отрезочке есть рациональные числа. С другой стороны, конечное подпокрытие разбивало бы отрезок на конечное же число промежутков, из которых покрыты не все (длины не хватает), а значит, какие-то не покрыты, значит, они есть. Но их нет!

[ewert]

gris в сообщении #985870 писал(а):

Есть покрытие всех рациональных чисел отрезка (с рациональными концами) интервалами, суммарная длина которых равна длине отрезка.

Как-то не верится. Что можно таким способом покрыть концы отрезка. В общем, формулировка требует уточнения.

[grizzly]

ewert в сообщении #985895 писал(а):

Как-то не верится. Что можно таким способом покрыть концы отрезка.

Почему? Берём любое стандартное покрытие с суммарной длинной $\varepsilon $ и добрасываем любым интервалом (или мусором) длиной $(b-a)-\varepsilon $.

[atlakatl]

Есть отрезок $[a; b]$, где $a$ и $b$ рациональны. Эти точки мы интервалами никакими богами не покроем. - Конечным их числом.
Что тут показывать?

[grizzly]

atlakatl
А где сказано, что интервалы не могут выходить за границы отрезка? Посмотрите определение покрытия.

[ewert]

Потому что я же говорю -- формулировка. Выглядит она так, как будто бы все интервалы лежат внутри отрезка.

Если же нет, то достаточно того, что объединение интервалов из конечного подпокрытия -- это некий конечный набор непересекающихся интервалов, суммарная длина которых тем более не превышает длины отрезка (и даже заведомо меньше этой длины). Естественно, такое невозможно.

Рациональность или нет концов значения не имеет.

[gris]

В общем, сводится к тому, что конечным числом интервалов суммарной длины $1$ нельзя покрыть единичный отрезок $[0;1]$. Разумеется, все интервалы не могут принадлежать отрезку, но то же самое и при покрытии компакта. Разве не будет неизбежной дырочки в виде интервала? Я имел в виду именно при конечном множестве элементов покрытия.
Если концы интервала иррациональны, то его внутренность покрывает всю рацуху внутри Контрпример.

[atlakatl]

grizzly в сообщении #985907 писал(а):

А где сказано, что интервалы не могут выходить за границы отрезка?

Тогда берём один интервал $(a; b)$. Его длина уже равна длине отрезка. Чем покрыть концы $a$ и $b$? При любом

$$\varepsilon >0 $$

добавочные два интервала имеют конечную длину. - А общая длина всех трёх интервалов превышает длину отрезка.

[grizzly]

atlakatl
Вы перепутали кванторы существования и всеобщности. Речь в условии задачи не идёт о том, что любое покрытие будет иметь такую длину. А только о том, что рассматривается одно из подходящих покрытий (которых более чем достаточно).

[gris]

Спасибо.
Я второпях чего-то и сам запутался Конечно, предполагалось, что всё дело происходит на обыкновенной числовой прямой, и покрытие понимается в стандартном смысле. Мне рассуждение с длинами показалось не совсем очевидным. Вернее, путанным из-за того, что вначале говорим о покрытии рациональных чисел, а потом о покрытии всего отрезка. Но это прошло.