Теорема Кантора о несчетности вещественных - научный миф?

[aa_dav]

Она до сих пор везде приводится, как что-то истинное, но если следуя абсолютно той же логике взять ряд натуральных и начать выписывать число которое в первой цифре не равно первому числу, во второй цифре не равно второму числу и т.д., то тоже следует вывод, что для любого $N$ такое число не входит в табличку.
Но очевидно, что вывод здесь делается не о том, что множество натуральных несчётно (абсурд), а о том что мы сделали противоречивую процедуру построения суть которой "построить такое число которое не равно любому числу из заданного множества", при этом смысла в таком числе ровно столько же сколько в "самом большом из натуральных". Т.е. такого числа просто нет, если мы говорим "для любого $N$". С таким же успехом можно просто сказать "для любого $N$ есть число на единицу большее, не входящее таким образом в таблицу". Но ничего из этого не следует абсолютно о счётности или несчётности.
В общем не доказательство, а полная профанация, но я еще ни разу не видел ни в одной серьезной литературе упоминание о его неверности.
Этот факт он малоизвестен или просто никому не нужен? Странно просто очень, что его до сих пор приводят, как верное...

[Nemiroff]

Всё в порядке, просто вы несёте бред несусветный. Бывает.

[aa_dav]

Ну как бред - я же говорю - делаем ту же самую, абсолютно ту же самую, процедуру для натуральных и чётко видим, что доказательство рассыпается, потому что мы пытаемся построить несуществующее число, а не потому что множество несчётно. Почему это доказательство переносится на другие вещи игнорируя этот факт?

[Nemiroff]

aa_dav в сообщении #985801 писал(а):

Ну как бред - я же говорю

Да-да, вы поняли. Всё, что вы сказали, — полная чушь.

[aa_dav]

И да, я здесь не оспариваю что $R$ несчётно, я только замечаю что известное и растиражированное доказательство этого не имеет силы. Вопрос именно в этом. Думаю должны быть более аккуратные доказательства, но возможно они нетривиальны для первокурсников, поэтому их не приводят, а приводят вот это на всякий случай, иначе объяснить не могу.

[Nemiroff]

Ладно, попробуем как будто бы по-настоящему…
Ну приведите доказательство несчётности натуральных чисел. Только целиком.

[aa_dav]

Предположим, что множество натуральных счётно. Выпишем числа в табличку до N, далее докажем что есть число не входящее в такую табличку для любого N - а это число у которого первая цифра отличается от первой цифры первого числа и т.д. Для любого N такое число существует, а "значит" мы не покрыли нумерацией наше множество, значит оно несчётно.
Вуаля?

[Nemiroff]

aa_dav в сообщении #985807 писал(а):

первая цифра отличается от первой цифры первого числа и т.д.

Что и т. д? По-вашему, бывают натуральные числа, у которых бесконечно много цифр в их записи?

[aa_dav]

Nemiroff в сообщении #985808 писал(а):

Что и т. д? По-вашему, бывают натуральные числа, у которых бесконечно много цифр в их записи?

А это тут при чём? Мы же доказали что для любого N существует число не записанное в табличке. Про бесконечную запись ничего не было в доказательстве.

[Nemiroff]

aa_dav в сообщении #985809 писал(а):

для любого N существует число

Это не число, это какой-то набор цифр.

[aa_dav]

Nemiroff в сообщении #985811 писал(а):

Это не число, это какой-то набор цифр.

Обоснуйте.
Еще раз - вы наверное переносите опыт с каких то прошлых баталий - нигде в "доказательстве" не фигурирует необходимость строить бесконечную последовательсть цифр.
Доказательство просто отталкивается от индукции, что "для любого N". Всё.

[Nemiroff]

aa_dav в сообщении #985809 писал(а):

Про бесконечную запись ничего не было в доказательстве.

Вы предлагаете доказательство от противного. Сперва пронумеровали натуральные, потом предложили натуральное, которого нет списке. Вот и докажите, что у вас получилось натуральное число, а не набор цифр.

[aa_dav]

Nemiroff в сообщении #985813 писал(а):

Сперва пронумеровали натуральные, потом предложили натуральное, которого нет списке. Вот и докажите, что у вас получилось натуральное число, а не набор цифр.

Верно мыслите - я про это в первопосте как раз и писал, когда говорил, что мы просто пришли к противерчивой процедуре построения числа. Такого числа просто нет. "Доказательство" несправедливо именно по этой причине - мы ищем в множестве число которое заранее, процедурой построения, оттуда вычеркнули. Это никакого отношения не имеет к доказательству счётности или несчётности. Это просто фарс. Теперь понятно?

[Nemiroff]

aa_dav в сообщении #985814 писал(а):

Теперь понятно?

Абсолютно.
В пургаторий.

[aa_dav]

Нет ну вы я вижу согласны с тем, что "доказательство" неверно для натуральных.
Но объясните почему оно верно для вещественных? Где и кто доказал что предметное число существует, а не просто "набор цифр" по той же логике, что вы спрашиваете у меня?