Множество нулей набора многочленов и идеала

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите разобраться здесь во втором пункте.

Пусть $S \subset k[X_1, ..., X_n]$, $a = (S)$ - идеал в $k[X_1, ..., X_n]$, порожденный множеством $S$. Тогда $Z(S) = Z(a)$.

Здесь $Z(S)$ - множество совместных нулей многочленов из $S$.

1. Если $P \in Z(S)$, то всякий многочлен $f\in S$ обращается в нуль в точке $P$. Но тогда всякая конечная сумма $\sum\limits_{}^{}g_i f_i$, где $f_i \in S$, $g_i \in k[X_1, ..., X_n]$, обращается в нуль в точке $P$. Это означает, что $P \in Z(a)$. Таким образом, выполняется включение $Z(S) \subset Z(a)$.

2. Обратное включение $Z(a) \subset Z(S)$ также верно, поскольку $S \subset a$. Таким образом, $Z(S) = Z(a)$.

Почему верно обратное включение? Почему многочлены из идеала не добавляют лишних нулей? Допустим, были у нас два многочлена $f$ и $g$. Запомним множество их совместных нулей и породим идеал с помощью этих двух многочленов. Пусть в этом идеале имеется многочлен вида $h \cdot f + h \cdot g$, где $h$ - многочлен из кольца. Тогда к множеству нулей многочленов $f$ и $g$ добавится множество нулей многочлена $h$, а значит множество нулей идеала уже не влезает в множество нулей двух данных многочленов.

[RIP]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985661 писал(а):

Тогда к множеству нулей многочленов $f$ и $g$ добавится множество нулей многочлена $h$

Неверно. Нас же интересуют общие нули всех многочленов. Смысл п. 2) очень простой: если мы в систему добавляем уравнения, то множество решений, вообще говоря, уменьшается.

[Nurzery[Rhymes]]

RIP в сообщении #985662 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #985661 писал(а):

Тогда к множеству нулей многочленов $f$ и $g$ добавится множество нулей многочлена $h$

Неверно. Нас же интересуют общие нули всех многочленов. Смысл п. 2) очень простой: если мы в систему добавляем уравнения, то множество решений, вообще говоря, уменьшается.

То есть общие нули исходных многочленов и всех многочленов из идеала, порожденного ими?

[RIP]

Не очень понял, в чём вопрос.

[Nurzery[Rhymes]]

RIP в сообщении #985668 писал(а):

Не очень понял, в чём вопрос.

Ну нас интересуют не только нули всех многочленов идеала, но и нули его базиса, так? А раз нас интересует еще и базис, то именно благодаря уравнениями из него количество нулей не увеличивается.

[RIP]

Забудьте Вы про идеалы, они здесь вообще не при чём. Для произвольных множеств $S_1\subset S_2\subset k[\mathbf{X}]$ верно $Z(S_1)\supset Z(S_2)$. Это мгновенно следует из определения $Z(S)$.