Математическая Статистика

[TripleLucker]

Здравствуйте. У меня два вопроса, а точнее две задачи.
1) Можно ли методом моментов с помощью какой-нибудь функции $g(y)$ получить оценку параметра $p$ распределения Бернулли, отличную от $\overline X $

Тут такое дело, что в ответе написано "нет". Т.е. всегда будет такая оценка получаться. Но вот, если взять $g(y) = {y^2}$ к примеру, то матожидание снова $p$, но оценка будет уже $\overline {{X^2}}$. Так ведь? Или я неправильно вопрос задачи понимаю, или неправильно метод понимаю?

2) Дана выборка из трехточечного распределения, зависящего от параметра $ \theta \in (0,1/3);$:
$\[{P_\theta }({X_1} = 1) = \theta ,{P_\theta }({X_1} = 2) = 2\theta ,{P_\theta }({X_1} = 3) = \theta \]$
Требуется найти оценку максимального правдоподобия параметра $\theta$.

В методе нужно соорудить каким-то образом плотность для такого дискретного распределения, я придумал такую:
$\[{P_\theta }({X_1} = y) = ((y + 3)\theta - 1)I(y \ne 3) + 1 - 3\theta ;y = 1,2,3;\]$

Но при составлении функции правдоподобия и поиске точки максимума параметр никак не выражается, т.к. тут сумма двух слагаемых, которые зависят от него. Нужно как-то по-другому плотность составлять, видимо, а как, не могу понять. Вот и вопрос возник, я уже тут столько исписал.

[--mS--]

1. И что, сильно $\overline{X^2}$ от $\overline X$ отличается для распределения Бернулли?

2. Неудачное выражение для плотности. Начните лучше с функции правдоподобия. Сколько раз в ней будет перемножаться $\theta$? $2\theta$? $1-3\theta$?

[TripleLucker]

--mS-- в сообщении #984781 писал(а):

1. И что, сильно $\overline{X^2}$ от $\overline X$ отличается для распределения Бернулли?

2. Неудачное выражение для плотности. Начните лучше с функции правдоподобия. Сколько раз в ней будет перемножаться $\theta$? $2\theta$? $1-3\theta$?

Хм, и правда не отличается. Я пробовал просто в общем виде пытаться понять, почему только $\overline X $ может получиться, и это вообще ничего не дало. Если $g(y)$ - некоторая произвольная функция, то $\[\begin{array}{l} Eg({X_1}) = g(1)p + g(0)(1 - p) \Rightarrow p = \frac{{Eg({X_1}) - g(0)}}{{g(1) - g(0)}} \Rightarrow \\ \Rightarrow p_n^* = \frac{{\overline {g(X)} - g(0)}}{{g(1) - g(0)}} = \overline X \end{array}\]$

А как начать с функции правдоподобия? Она же строится как раз по плотности (в моем случае неудачной плотности). Должно перемножаться вроде бы все $n$ раз, какого размера выборка

[--mS--]

TripleLucker в сообщении #984795 писал(а):

$$ p_n^* = \frac{{\overline {g(X)} - g(0)}}{{g(1) - g(0)}} = \overline X $$

И? Последнее равенство доказать можете? А пробовали?

TripleLucker в сообщении #984795 писал(а):

А как начать с функции правдоподобия? Она же строится как раз по плотности (в моем случае неудачной плотности).

Плотность у Вас дана. Её значения - или $\theta$, или $2\theta$, или $1-3\theta$. В зависимости от того, какой аргумент. Думайте, выписывайте определение функции правдоподобия и отвечайте на заданный выше вопрос. Больше помочь нечем, только решить за Вас.

[Otta]

--mS-- в сообщении #985207 писал(а):

Плотность у Вас дана. Её значения - или $\theta$, или $2\theta$, или $1-3\theta$.

Да, только в условии надо что-то поправить. Там не так.

[--mS--]

Опечатки на совести ТС.

[Otta]

(Оффтоп)

--mS--, ну я ж не Вам )

[TripleLucker]

--mS-- в сообщении #985207 писал(а):

TripleLucker в сообщении #984795 писал(а):

$$ p_n^* = \frac{{\overline {g(X)} - g(0)}}{{g(1) - g(0)}} = \overline X $$

И? Последнее равенство доказать можете? А пробовали?

TripleLucker в сообщении #984795 писал(а):

А как начать с функции правдоподобия? Она же строится как раз по плотности (в моем случае неудачной плотности).

Плотность у Вас дана. Её значения - или $\theta$, или $2\theta$, или $1-3\theta$. В зависимости от того, какой аргумент. Думайте, выписывайте определение функции правдоподобия и отвечайте на заданный выше вопрос. Больше помочь нечем, только решить за Вас.

Да, я опечатался там. Так вот именно, что не могу. $g(0)$ и $g(1)$ - произвольные числа. Ну я еще подумаю, конечно.

Вот определение ${\Psi _\theta }(X) = \prod\limits_{k = 1}^n {{f_\theta }({X_k})} $. У меня есть три разные вероятности, когда случайная величина принимает три разных значения. Для этого я придумал формулу в общем виде, чтобы подставить ее сюда и найти функцию правдоподобия. Но она плохая, т.к. оттуда не выражается параметр. Следовательно, нужно новую придумать? А вы мне говорите начать с функции правдоподобия, что-то я запутался.

-- 04.03.2015, 11:35 --

Насчет второй я понял, что вы имели в виду. Кажется, знаю, как решать.

[--mS--]

TripleLucker в сообщении #985412 писал(а):

Так вот именно, что не могу. $g(0)$ и $g(1)$ - произвольные числа. Ну я еще подумаю, конечно.

Да Вы ещё и не начинали. Попробуйте, например, с $g(x)=\sin x$ - получится?

[TripleLucker]

--mS-- в сообщении #985510 писал(а):

TripleLucker в сообщении #985412 писал(а):

Так вот именно, что не могу. $g(0)$ и $g(1)$ - произвольные числа. Ну я еще подумаю, конечно.

Да Вы ещё и не начинали. Попробуйте, например, с $g(x)=\sin x$ - получится?

Не было возможности выйти в интернет. Я понял, как делать. И я начинал, просто нечего было сказать, пока не понял, как именно использовать все это.