lexus c. писал(а):
Можно ли доску 10*10 разрезать на набор фигурок из четырех клеток в форме букв Г и L (т.е. набор может быть смешанным)?
Нельзя. Потому что 25 фигур.
Утверждение Если прямоугольная доска разбивается на Г- и L- фигуры, то разбиение состоит из чётного числа фигур.
Пусть такое разбиение существует - доска покрыта Г- и L- фигурами полностью и без пересечений. По крайней мере одна из длин сторон доски (или количество рядов

, или количество столбцов

) должна быть чётна. Пусть количество столбцов

чётно. Будем по одной снимать фигуры с доски и подсчитывать, сколько клеток осталось закрыто фигурами на каждой горизонтали. Сначала в каждом ряду закрыто по

клеток

, после снятия всех фигур станет

. Заметим, что снятие каждой фигуры уменьшает счётчики клеток на (1,3) или (3,1) или (1,1,2) или (2,1,1). Рассмотрим чётности этих количеств

. Перед снятием фигур и после снятия все

, а снятие одной фигуры инвертирует чётность какой-то пары соседних счётчиков

. Легко доказать по индукции (индукция по числу рядов

), что количество парных инверсий (равное количеству фигур) должно быть чётным.
Про тараканов.
Действительно, удалось найти 1 расстановку, в которой любая клетка граничит ровно с 2-мя отмеченными и одну расстановку (с точностью до поворота доски), где выполняется условие выше кроме 2-х клеток, которые граничат с тремя отмеченными. В обоих случаях число неотмеченных (путых) клеток 24.
Очень жаль, но в своём я ошибся. У меня, всё же, не получилось освободить 24 клетки.