Задача из Кострикина. Правильно ли я понимаю?

[userded]

Решая задачу из задачника п/р А.И.Кострикина №58.17 (г)
(изд-во МЦНМО 2009, в старом, который синий, номер другой, кажется 5813),
которая выглядит так:

Если $G$ -- конечная подгруппа в $SL(n,\mathbb{Z})$, то порядок $G$ делит
$\frac{1}{2}(3^n-1)(3^n-3)\ldots(3^n-3^{n-1})$,

немного удивился.
На мой взгляд, из предыдущих пунктов (а)-(в) (извините, много печатать, если надо -- допишу) следует,
что это утверждение можно сформулировать и для любого нечетного простого $p$:

порядок $G$ делит $\frac{1}{p-1}(p^n-1)(p^n-p)\ldots(p^n-p^{n-1})$

Если это верно (если нет, значит 3 чем-то существенно отличается от всех других нечетных простых),
то логично задать вопрос:

Какие конечные подгруппы есть в $SL(n,\mathbb{Z})$?

Бегло порывшись в доступных источниках, ответа не нашел. Очевидно, что диагональные $\pm1$ матрицы
с четным числом -1 подходят. А ещё?
Спасибо

[Nemiroff]

userded в сообщении #983437 писал(а):

Если это верно (если нет, значит 3 чем-то существенно отличается от всех других нечетных простых)

Да нет, не отличается. Вы запихните $SL(n,\mathbb{Z})$ в $SL(n,\mathbb{Z}_3)$.

userded в сообщении #983437 писал(а):

Какие конечные подгруппы есть в $SL(n,\mathbb{Z})$?

Да кто ж их знает. Их там дофига. Только при двойке там $Z_2, Z_3, Z_4$ и $Z_6$ помимо тривиальной.

[userded]

Nemiroff в сообщении #983457 писал(а):

Да нет, не отличается.

Это значит, что порядок $G$ делит НОД всех чисел вида
$\frac{1}{p-1}(p^n-1)\ldots(p^n-p^{n-1})$
И ничего отсюда кроме "кто ж их знает. Их там дофига" не следует? :)

[userded]

userded в сообщении #983588 писал(а):

Nemiroff в сообщении #983457 писал(а):

Да нет, не отличается.

Это значит, что порядок $G$ делит НОД всех чисел вида
$\frac{1}{p-1}(p^n-1)\ldots(p^n-p^{n-1})$
И ничего отсюда кроме "кто ж их знает. Их там дофига" не следует? :)

Кстати, при $n=2, p=3$ в образе должна быть силовская 8. Какой прообраз?
Всё равно непонятно.
Отвечать типА пА пАнятиям я сам умею ссылку кинь пробить по братве если самому лень

[userded]

Наверное мне стоит извиниться. Что я и делаю.
Прошу прощения!
Я интересуюсь дискретной математикой,
а здесь уважаемые люди любят бесконечность.
В любом случае, спасибо за реакцию на мои вопросы!

[Nemiroff]

userded в сообщении #983716 писал(а):

Прошу прощения!

Прощаю.
Вам что надо?
Если подсказку как решать, я вам дал.
Если "какие подгруппы бывают", я вам сказал --- не знаю, их слишком много, не думаю, что кто-то их классифицировал. Была бы общая линейная, были бы вообще все конечные группы.