Площадь сечения через интеграл

[KravLondon]

Приветствую! Необходимо найти площадь данного сечения, используя интеграл.



Я нашел уравнение плоскости данного сечения: $48 \sqrt2 x +72 y-48 \sqrt2 z = -96 \sqrt2$. Не подскажите, что дальше делать?

[svv]

Через интеграл обязательно? А то можно и проще.
И даже через интеграл можно сложнее и проще.

Кстати, я вот подставляю координаты точки $(0,0,2)$ в уравнение плоскости, и не вижу, чтобы оно удовлетворялось.

[KravLondon]

Конечно проще всего через непосредственную формулу: длины сторон все известны. Но нет, нужно именно через интеграл - задание такое.

-- 28.02.2015, 04:16 --

svv в сообщении #983593 писал(а):

Кстати, я вот подставляю координаты точки $(0,0,2)$ в уравнение плоскости, и не вижу, чтобы оно удовлетворялось.

А сейчас попробуйте.

[svv]

Сейчас нормально.
Я бы ещё сократил на $48\sqrt 2$, тогда уравнение будет
$x+\frac{3\sqrt 2}{4}y-z+2=0$
Найдите единичный вектор нормали к плоскости. Его компоненты позволяют выразить площадь Вашего сечения через площадь его проекции на какую-нибудь из координатных плоскостей (например, $Oxy$), эту площадь найти проще.

[KravLondon]

Интересный ход, но, к сожалению, для меня неизведанный, поскольку я с такими вещами еще не знаком и раньше времени знакомиться не хотелось бы (хотя градиент я спокойно найду). Я правильно понимаю, что имея непосредственно данный рисунок, без каких-либо иных манипуляций, площадь сечения я не найду?

[ИСН]

Площадь сечения - это число, и скорее всего не одно из тех, что написаны на рисунке. Так что получить его без манипуляций никак невозможно.

-- менее минуты назад --

Способов много, но это зависит от того, что ещё Вы знаете.

[KravLondon]

Хорошо, значит шаткой поступью мне надо как-то сделать, чтобы трапеция-сечение оказалось на одной из плоскостей? На $0xy$, конечно, лучше всего. Но я, как уже говорил ранее, плохо разбираюсь в непосредственно в этих действиях. Но раз задание вычислить площадь через интеграл - будем вычислять. Что мне сейчас необходимо найти? Проекцию на плоскость $0xy$. Что мне нужно для этого сделать?

-- 28.02.2015, 11:48 --

Все то, что потребуется - узнаю.

[ИСН]

Найти проекцию туда всех вершин сечения, для начала.

KravLondon в сообщении #983595 писал(а):

Конечно проще всего через непосредственную формулу: длины сторон все известны. Но нет, нужно именно через интеграл

Вот я бы и делал так, как проще. А интеграл - взял бы любой из справочника и вписал в середину решения. Неправильным оно от этого не станет, правда же? Зато будет через интеграл. А никак иначе, боюсь, этого не достичь.

[KravLondon]

Ой, если каждую точку отдельно проецировать на плоскость 0xy... Задание того не стоит.

[Brukvalub]

Можно "искусственно" притянуть двойной интеграл, например, как это объясняется здесь.

[KravLondon]

В общем площадь я получило 90, хотя не так, как надо. Скажите, значит нельзя, имея уравнение плоскости найти ее площадь посредством интеграла сразу же, без лишних действий? Все остальные данные, по типу координат, образующих данную плоскость, граничные координаты тела, в котором заключено сечение предполагаются и прочее предполагается.

[redicka]

KravLondon в сообщении #983706 писал(а):

В общем площадь я получило 90, хотя не так, как надо. Скажите, значит нельзя, имея уравнение плоскости найти ее площадь посредством интеграла сразу же, без лишних действий? Все остальные данные, по типу координат, образующих данную плоскость, граничные координаты тела, в котором заключено сечение предполагаются и прочее предполагается.

Вы сами понимаете - о чем спрашиваете?

[KravLondon]

Хотя да, подумал, что глупый вопрос. В общем, спасибо всем!

[Aritaborian]

KravLondon в сообщении #983706 писал(а):

Скажите, значит нельзя, имея уравнение плоскости найти ее площадь посредством интеграла сразу же, без лишних действий?

Такое ощущение, что под словами «посредством интеграла сразу же» вы подразумеваете «взмахом волшебной палочки».

[KravLondon]

Ну, что-то типа этого изначально я и имел в виду.