Точечный заряд в конденсаторе

[udd]

Здравствуйте!
Вот есть такая задача, хочется проконсультироваться по поводу решения.

В цилиндрическом конденсаторе (длина много больше радиусов $R_1$ и $R_2$) точечный заряд известной величины помещен между обкладками на расстоянии $r_0$ от оси, внешняя обкладка заземлена.
Найти, какой на ней индуцируется заряд.

Правильно мыслю, что потенциал заземленной обкладки равен нулю?
Заряд получается и на внутренней, и на внешней обкладке? Они должны как-то уравновесить друг друга?

--
В общем, насколько я понимаю, можно так подойти: записать потенциал как сумму потенциалов от всех деталей (1-ой и 2-ой поверхностей и точки), и пусть расстояние r меняется по линии, проведенной через точку перпендикулярно оси цилиндров. Тогда имею:

$$\varphi_1 = \frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {r}{R_1}$$

$$\varphi_2 = \frac{\tau_2}{2\pi}\ln\frac {1}{R_2}$$

$$\varphi_3 = \frac{q}{4\pi\left\lvert r-r_0 \right\rvert}$$

И дальше нужно положить $r = R_2$ и приравнять к нулю?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[udd]

В общем, пока дошел до такого:

$$\varphi = \varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3 = \frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {r}{R_1} + \frac{\tau_2}{2\pi}\ln\frac {1}{R_2} + \frac{q}{4\pi\left\lvert r-r_0 \right\rvert}$$

$$\varphi (R_2)= \frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {R_2}{R_1} + \frac{\tau_2}{2\pi}\ln\frac {1}{R_2} + \frac{q}{4\pi\left\lvert R_2-r_0 \right\rvert} = 0$$

$$\varphi (R_1) = \frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {R_1}{R_1} + \frac{\tau_2}{2\pi}\ln\frac {1}{R_2} + \frac{q}{4\pi\left\lvert r_0-R_1 \right\rvert}$$

Получается 3 неизвестных: $\varphi (R_1) , \tau_1, \tau_2$ и 2 уравнения...

[mihiv]

Примените теорему Гаусса.

[udd]

Ну вроде ею и пользуюсь...

Вот возникла тут еще одна мысль, прошу совета, правильно ли?
Если рассмотреть в точке $-R_2$, то есть с другой стороны точечного заряда на внешнем слое, там ведь тоже должен получиться нулевой потенциал?

То есть:

$$-\frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {R_2}{R_1} + \frac{\tau_2}{2\pi}\ln\frac {1}{R_2} + \frac{q}{4\pi\left\lvert R_2+r_0 \right\rvert} = 0$$

Не поможет? Или это не верно?

[mihiv]

Просто поле внутри внешней обкладки равно 0. Отсюда делайте вывод.

[amon]

Что-то мне кажется, что без интегральных уравнений тут никак (симметрии у задачи нет). Да и с интегральными как-то не оптимистично.

udd в сообщении #983443 писал(а):

$$\varphi_1 = \frac{\tau_1}{2\pi}\ln\frac {r}{R_1}$$

Это потенциал равномерно заряженного цилиндра, а у Вас - не равномерно.

[udd]

По-моему, через поле сложнее.. С векторами?
$\vec{E_1(\vec{r})} = \frac{\tau_1\vec{r}}{2\pi (\left\lvert r\right\rvert)^3}$

Цитата:

Это потенциал равномерно заряженного цилиндра, а у Вас - не равномерно

Вот да, и меня настораживает..

[amon]

udd в сообщении #983538 писал(а):

По-моему, через поле сложнее.. С векторами?

Можно попытаться проломиться в лоб. В этом случае нужно написать потенциал внешнего цилиндра как сумму потенциалов заряда, распределенного по этому цилиндру, точечного заряда и потенциала внутреннего цилиндра и приравнять их сумму к нулю. Первый и последний выражаются хитрыми интегралами по поверхности цилиндра. Для внутреннего цилиндра такой номер не пройдет, потенциал его не известен. Поэтому там, видимо, придется занулять тангенциальные составляющие эл. поля. Эти уравнения определяют распределения заряда на цилиндрах, т.е. они избыточны для данной задачи. Проинтегрировав распределение заряда по поверхности первого цилиндра, получим искомый заряд. В общем, воронье гнездо, а не решение, но ничего другого я не вижу. Может кто что-нибудь более красивое подскажет.

[mihiv]

Проведем цилиндрическую поверхность внутри внешней обкладки, поле там равно 0, поэтому поток через эту поверхность равен 0. Следовательно, сумма зарядов внутри поверхности равна 0. Внутренняя обкладка незаряжена, поэтому сумма точечного заряда и заряда на внутренней стороне внешней обкладки равна 0. Так как внешняя обкладка заземлена, то заряд с внешней поверхности внешней обкладки уйдет. Полный заряд внешней обкладки, следовательно, будет равен точечному заряду (с обратным знаком).

[amon]

mihiv в сообщении #983549 писал(а):

Проведем цилиндрическую поверхность внутри внешней обкладки, поле там равно 0

С чего вдруг?

[mihiv]

Поле в объеме металла в статике.

[udd]

mihiv в сообщении #983549 писал(а):

Проведем цилиндрическую поверхность внутри внешней обкладки, поле там равно 0, поэтому поток через эту поверхность равен 0. Следовательно, сумма зарядов внутри поверхности равна 0. Внутренняя обкладка незаряжена, поэтому сумма точечного заряда и заряда на внутренней стороне внешней обкладки равна 0. Так как внешняя обкладка заземлена, то заряд с внешней поверхности внешней обкладки уйдет. Полный заряд внешней обкладки, следовательно, будет равен точечному заряду (с обратным знаком).

Перечитав 5 раз, логику вроде понял. Но почему не заряжена внутренняя обкладка? Ведь на ней же что-то индуцируется, какое-то неравномерное распределение... На внешней ее поверхности? И вокруг себя создает поле. Не?

[mihiv]

Внутренняя обкладка поляризуется, заряд на ней перераспределяется, оставаясь в сумме равным 0.