Выбор системы образующих идеала

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите понять ход таких рассуждений.

Если $A$ - нётерово кольцо, $S$ - бесконечное множество из $A$ и $a = (S)$. Пусть $s_1 \in S$. Если $a \ne (s_1)$, то существует $s_2 \in S \setminus (s_1)$. Если $a \ne (s_1 , s_2)$, то существует $s_3 \in S \setminus (s_1, s_2 )$ и т.д.

Получаем бесконечно возрастающую последовательность идеалов $(s_1) \subset (s_1, s_2)$ $\subset (s_1, s_2, s_3) \subset ...$, что противоречит нётеровости кольца $A$.

Таким образом, $a = (s_1, ..., s_n)$ для некоторых $s_1, ..., s_n$ из $S$. Иными словами, конечную систему образующих идеала $a$ можно выбрать из любой заданной системы образующих.


Я не понимаю обозначения первой строки. Что такое все эти $s_1, s_2, s_3, ...$, которые порождают идеалы? Отдельные элементы из $S$ или подмножества $S$? А может, не имеет значения, подмножества это или отдельные элементы?

Далее, мы начинаем добавлять к системе образующих по одному $s_i$ из подмножества таких элементов $S$, которые не принадлежат идеалу $(s_1, ..., {s}_{i-1})$. Почему мы всегда требуем, чтобы они не принадлежали уже построенному идеалу?

И еще. Смысл этой теоремы в том, что всегда существует базис Грёбнера?

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983336 писал(а):

Что такое все эти $s_1, s_2, s_3, ...$, которые порождают идеалы? Отдельные элементы из $S$ или подмножества $S$?

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983336 писал(а):

Пусть $s_1 \in S$.

Вы значок "$\in$" не распознаёте?

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #983339 писал(а):

Вы значок "$\in$" не распознаёте?

А, то есть это значок включения элемента в множество, а $\subset$ это включение подмножества в множество? Что-то у меня нет привычки различать эти значки.

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983340 писал(а):

Что-то у меня нет привычки различать эти значки.

Плохо вам, что ещё сказать.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983336 писал(а):

Смысл этой теоремы в том, что всегда существует базис Грёбнера?

Базис Грёбнера чего? Вот у вас нётерово кольцо, и куда лепить базис?

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #983345 писал(а):

]Базис Грёбнера чего? Вот у вас нётерово кольцо, и куда лепить базис?

Базис какого-то идеала. Конечное число элементов из этого идеала, которые порождают его.

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983349 писал(а):

Базис какого-то идеала

Вот вещественные числа. Это кольцо (даже круче, но неважно). Это нётерово кольцо. И при чём тут базис Грёбнера?

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #983352 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983349 писал(а):

Базис какого-то идеала

Вот вещественные числа. Это кольцо (даже круче, но неважно). Это нётерово кольцо. И при чём тут базис Грёбнера?

То есть это более общая теорема, которая утверждает, что конечный базис есть в идеале любого нётерова кольца, а не только в кольце полиномов?

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983355 писал(а):

То есть это более общая теорема, которая утверждает, что конечный базис есть в идеале любого нётерова кольца, а не только в кольце полиномов?

Вы бы на вопрос хоть ответили. Не надо выдумок про базисы. Свойство нётерового кольца --- любой идеал конечно порождён. Более того, это часто считают определением.

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #983363 писал(а):

Вы бы на вопрос хоть ответили.

Ни при чем, потому что это не кольцо полиномов.

Nemiroff в сообщении #983363 писал(а):

Свойство нётерового кольца --- любой идеал конечно порождён. Более того, это часто считают определением.

Тогда зачем нужна эта теорема, если она говорит о том же, что сказано в свойствах нётерова кольца?

[Nemiroff]

Я-то откуда знаю? Сам факт нужен. А почему вы его теоремой называете, я не в курсе. Это примерно такая же "теорема" как факт того, что в конечномерном векторном пространстве любая система линейно независимых векторов конечна.

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff в сообщении #983367 писал(а):

Я-то откуда знаю? Сам факт нужен. А почему вы его теоремой называете, я не в курсе. Это примерно такая же "теорема" как факт того, что в конечномерном векторном пространстве любая система линейно независимых векторов конечна.

Ну не теорема, а утверждение. Оно у меня просто под номером записано. Что полезного из него можно извлечь? Факт, что если идеал нётерова кольца порождается бесконечным множеством, то всю эту бесконечную систему порождающих можно заменить конечной? Так это из определения нётерова кольца ясно.
Может, это просто пример такой, потому что этот материал даже не для нас предназначен, а для преподавательницы.

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983369 писал(а):

Что полезного из него можно извлечь?

Я вот не знаю, как тут ответить. Ну можно теорему Гильберта доказать. Потом примарное разложение. Можно ничего не извлекать, а пойти пить чай с печеньками.