Идеал алгебраического множества

[Nurzery[Rhymes]]

1. Определение аффинного многообразия.$V(f_1, ..., f_n) = \left\lbrace (a_1, ..., a_n) \in k^n | f_i (a_1, ..., a_n) = 0, \forall i \in 1..n \right\rbrace$
То есть это просто множество нулей какой-то системы полиномиальных уравнений.

2. Определение идеала алгебраического множества.

Пусть $V$ - произвольное множество из $A^n$. Будем обозначать $I(V) = \left\lbrace f \in k[X_1, ..., X_n] | f(P) = 0, \forall P \in V \right\rbrace$

Элементарно проверяется, что $I(V)$ - идеал кольца $k[X_1, ..., X_n]$. Его называют идеалом множества.

А что такое идеал множества простыми словами? Есть какое-то алгебраическое множество, которое задается системой полиномиальных уравнений. Мы нашли все многочлены, которые обращаются в ноль на этом множестве. По сути мы нашли ту систему, которая задает наше алгебраическое множество, только в более общем виде? Или здесь говорится о том, что систему любой сложности можно свести с нескольким многочленам, которые порождают идеал? Это все интуитивно непонятно.

[AV_77]

Можно как-то переформулировать вопрос? Что значит "идеал множества простыми словами"? Куда уж проще определения, которое вы привели. Не очень понятно, в чем именно у вас затруднение.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #983152 писал(а):

Можно как-то переформулировать вопрос? Что значит "идеал множества простыми словами"? Куда уж проще определения, которое вы привели. Не очень понятно, в чем именно у вас затруднение.

Потому что это определение не дает представление о том, зачем нужны эти идеалы, какое они имеют отношение к многообразию и полиномиальной системе, и что из этого идеала можно извлечь. "Масло это маслянистая жидкость, а молоток это металлический брусок на ручке". Что дальше? Как из такого определения молотка узнать его область применения?

[patzer2097]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983039 писал(а):

А что такое идеал множества простыми словами?

Можно, это идеал, порождающий замыкание множества (в топологии Зарисского)

[AV_77]

Все равно не понимаю затруднения. Каждому многообразию можно сопоставить некоторый идеал кольца многочленов. Зачем эти идеалы нужны? Например, они сводят изучение многообразия у изучению идеалов кольца многочленов, что, иногда, более просто. А уж как вы этим воспользуетесь, это другое дело.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #983179 писал(а):

Все равно не понимаю затруднения. Каждому многообразию можно сопоставить некоторый идеал кольца многочленов. Зачем эти идеалы нужны? Например, они сводят изучение многообразия у изучению идеалов кольца многочленов, что, иногда, более просто. А уж как вы этим воспользуетесь, это другое дело.

Мне непонятно различие между полиномиальной системой, задающей многообразие, и идеалом этого многообразия. И то, и другое - многочлены, которые обращаются в нуль на этом многообразии. Только в идеале этих многочленов содержится больше, чем в системе. Идеалом можно заменить полиномиальную систему?

[AV_77]

Ну, ежели не ошибаюсь, не совсем однозначно заменить, но, в общем да. Каждая система многочленов порождает некоторый идеал. Для идеала можно, на пример, построить базис Гребнера, который, в частности, дает возможность относительно эффективно решать системы уравнений.

[Nurzery[Rhymes]]

AV_77 в сообщении #983192 писал(а):

Ну, ежели не ошибаюсь, не совсем однозначно заменить, но, в общем да. Каждая система многочленов порождает некоторый идеал. Для идеала можно, на пример, построить базис Гребнера, который, в частности, дает возможность относительно эффективно решать системы уравнений.

И базис Грёбнера будет эквивалентен исходной системе?

[patzer2097]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983196 писал(а):

И базис Грёбнера будет эквивалентен исходной системе?

В каком смысле "эквивалентен"?

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes], а давайте я вам ничего рассказывать не буду, а посоветую книжку.
Кокс, Литтл, О'Ши, "Идеалы, многообразия и алгоритмы".

[Nurzery[Rhymes]]

patzer2097 в сообщении #983201 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983196 писал(а):

И базис Грёбнера будет эквивалентен исходной системе?

В каком смысле "эквивалентен"?

Приравняли каждый многочлен базиса Грёбнера к нулю, решили систему таких многочленов, и множество решений совпало с исходным многообразием. То есть система многочленов базиса Грёбнера эквивалентна исходной системе. Не так?

-- 27.02.2015, 01:44 --

Nemiroff в сообщении #983203 писал(а):

Nurzery[Rhymes], а давайте я вам ничего рассказывать не буду, а посоветую книжку.
Кокс, Литтл, О'Ши, "Идеалы, многообразия и алгоритмы".

Ну ладно, буду ее читать. Просто я сейчас изучаю эти темы по распечатанным конспектам.

[patzer2097]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983204 писал(а):

Приравняли каждый многочлен базиса Грёбнера к нулю, решили систему таких многочленов, и множество решений совпало с исходным многообразием.

Конечно. Но причем здесь базис Гребнера, - ведь это верно для любого порождающего множества

[Nemiroff]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #983204 писал(а):

Ну ладно, буду ее читать.

Кстати да, я тут наткнулся на post965342.html#p965342 Какие у вас после этой книжки вообще вопросы --- там же разжёвано все до состояния плазмы?