Возможно ли сведение интеграла к табличному?

[bayak]

Равняясь на табличный интеграл

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx = \arctg \frac{b}{a},$$

пытаюсь найти интеграл

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1+ix)}{1+ix}dx,$$

но не знаю куда тут двигаться.

[ИСН]

Такие штуки не растут один от другого. Информация о первом интеграле Вам ничем не поможет со вторым.
А берётся он так же, как первый. Например, дифференцированием по параметру.

[bayak]

Спасибо, буду читать в указанном Вами направлении. Может быть ещё и полезную ссылку на литературу дадите?

[ИСН]

Читать не надо. Надо делать. Дифференцирование по параметру - это когда пошли такие и взяли производную. Какая литература Вам нужна для того, чтобы взять производную?

[bayak]

Вы правы - пошёл и сделал.

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

[bayak]

bayak в сообщении #982313 писал(а):

Вы правы - пошёл и сделал.

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arcth} \frac{b}{a}.$$

Похоже, никто не проверял, поскольку правильно будет так

$$\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin b(1\pm ix)}{1\pm ix}dx = \pm \operatorname{arth} \frac{b}{a}.$$

[ИСН]

Это (или первое, не вникал) скорее всего верно для версии, где вместо икса под синусом возникает чисто мнимая величина. При таком повороте обычно так и бывает, что тригонометрия переходит в гиперболические функции. Для $1+ix$ должно получаться что-то посложнее.

[Ms-dos4]

bayak
И как вы это получили? У меня получилось лишь свести этот интеграл к интегральной показательной функции.

[bayak]

Действовал по подсказке ИСН. Продифференцировал по параметру $b$ и получил интеграл

$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\cos b(1+ix)dx.$$

Затем проинтегрировал по частям этот интеграл и интеграл

$$\int_{0}^{\infty}e^{-ax}\sin b(1+ix)dx$$

так, чтобы в обоих случаях было $u=\frac{e^{-ax}}{-a}$, и подставил второй интеграл в первый. В итоге получил выражение, которое проинтегрировал по параметру $b$.

[Ms-dos4]

bayak
Так, я для интеграла получил $\[\int\limits_0^\infty {{e^{ - ax}}\cos [b(1 + ix)]dx} = \frac{{a\cos b - ib\sin b}}{{{a^2} - {b^2}}}\]$ тем же способом. А у вас что?
И интегрирование этого выражения как раз и приводит к спец. функциям

[bayak]

Опаньки, а я единицу проворонил, и в итоге у меня числитель сильно упростился. Спасибо за поправку. А как Вы получили интегральную показательную функцию, если не секрет?

[bayak]

Ms-dos4, так как Вам удалось свести его к спец. функциям? Максимум что мне удалось, так это свести его к интегральным выражениям типа:

$$\int \ln(x+1)\sin x dx,$$

$$\int x\ln(x+1)\sin x dx.$$

[ИСН]

Интегрированием по частям уберите логарифм же.

[bayak]

Мир не без добрых людей. Спасибо, ИСН.