Выделение главной части

[Captain]

Здравствуйте! Перечитал несколько подобных тем, прочитал раздел в учебнике, но все равно не понимаю некоторые задания.
Вот такое, например:
"Выделить главную часть вида $c\cdot(x-1)^k$ б/м $ \alpha(x)=(x^3-1) \cdot \sin(x^2-1)$ при $x\to1$"

Грубо говоря, чтобы выделить главную часть, я должен найти предел $\lim\limits_{x\to1}^{}\frac{(x^3-1)\cdot \sin(x^2-1)}{c(x-1)^k} $ так, чтобы предел был равен единице, правильно?

Чтобы решить задачу, я попробовал заменить части ф-ии на эквивалентные - избавился от синуса, многочлены разложил по формулам сокращенного умножения, получив $\lim\limits_{x\to1}^{}\frac{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x-1)}{c(x-1)^k}$ и тут я зашел в тупик. Привести к нужному виду таким образом не получается, так где же ошибка? Заранее спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[ewert]

Captain в сообщении #983066 писал(а):

и тут я зашел в тупик.

Потому что Вы не сделали стандартную (да и без стандартов напрашивающуюся) замену $x-1=z$, после которой всё достаточно очевидно.

[Captain]

ewert в сообщении #983108 писал(а):

Потому что Вы не сделали стандартную (да и без стандартов напрашивающуюся) замену $x-1=z$, после которой всё достаточно очевидно.

То есть в знаменателе получаем $(x-1)^2$, остальное сворачиваем до 4 и получаем ответ $4(x-1)^2$, где C=4 и k=2?

[svv]

Ошиблись.

[Dan B-Yallay]

ewert в сообщении #983108 писал(а):

Потому что Вы не сделали стандартную (да и без стандартов напрашивающуюся) замену $x-1=z$,

Зачем там замена? Посокращать числитель и знаменатель на $(x-1)$ и получить требование: $k-2=0$.

Captain в сообщении #983143 писал(а):

остальное сворачиваем до 4

$3 \cdot 2 = ?$

[Captain]

Dan B-Yallay писал(а):

Зачем там замена? Посокращать числитель и знаменатель на $(x-1)$ и получить требование: $k-2=0$.

Насколько я понял, деление на главный вид функции в знаеменателе условно, т.е. нужно просто для понимания того, что нужно делать. Или это не так?

Dan B-Yallay писал(а):

$3 \cdot 2 = ?$

6, прошу прощения :)

[Captain]

Вот такой еще пример для закрепления:

Главная часть $C\cdot(x-3)^k$, б/м $\alpha(x)=(x^-1)\cdot(x^2-1)$ при $x\to3$

Решаю так:
В знаменателе после поиска эквивалентности остается $(x-3)$, в числителе внимание обращается на $(x-3)^3$, но нам еще нужно доказать, что оставшаяся часть ф-ии равна ненулевой константе, поэтому ищем $\lim\limits_{x\to3}^{} \frac{\ln(4-x)}{x-3}$. Применяем правило Лопиталя, получаем -1. Получается C=-1, k=3